Интегрирование уравнений движени для установившегося течения невязкой жидкости

В параграфе 4.2 было рассмотрено интегрирование уравнений Эйлера для частного случая установившегося движения, когда единственной массовой силой является сила тяжести. Рассмотрим более общий случай. Для этого запишем уравнения движения (4.8) с использованием условия, определяющего установившееся течение:В

что в результате дает

Умножим уравнения на dx, dy, dz каждое соответственно. Рассмотрим первое уравнение системы (14.16):

Преобразуем правую часть этого уравнения, используя тот факт, что при установившемся течении линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости, а значит и с элементарными струйками. В этом случае можно записать

Тогда

но по аналогии с (14.18)

и выражение (14.19) запишется следующим образом:

где dux полный дифференциал проекции скорости и на ось X.

Величина uxdux = dux/2. В результате уравнение (14.17) можем представить в виде

По аналогии запишем второе и третье уравнения (14.16) после умножения на dy, dr

Сложим полученные уравнения и проведем преобразование правой части полученного уравнения:

Пусть массовые силы имеют потенциал, в этом случае

где П(.г, у, г) — силовая функция.

Используем анализ, приведенный ранее, в соответствии с которым по уравнению (14.7) имеем

В результате уравнение (14.20) запишется следующим образом:

Проинтегрировав выражение (14.21), получим

Это выражение называется интегралом Бернулли.

Если рассматриваемое движение происходит в условиях Земли, а жидкость несжимаемая, то

Выражение (14.22) предстанет в виде В или, после деления на -?:

Данное выражение соответствует полученному ранее уравнению Бернулли (4.21).

Кроме того отметим идентичность выражений (14.23) и (14.15). Однако интеграл Лагранжа (14.13) и интеграл

Бернулли (14.22), представленные для частного случая в виде уравнения Бернулли, имеют существенное различие Уравнение (14.15) в соответствии с выводом этого уравнения относится ко всему потенциальному потоку, а уравнения (14.21), (4.23) — только к элементарной струйке установившегося вихревого течения.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >