Ковариационная матрица и ее выборочная оценка

Вариации оценок параметров будут в конечном счете определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают так называемую ковариационную матрицу вектора оценок параметров У , являющуюся матричным аналогом дисперсии од-

ной переменной:

где элементы а,, — ковариации (или корреляционные моменты) оценок параметров р, и р;. Ковариация двух переменных определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих переменных от их математических ожиданий (см. § 2.4). Поэтому

Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных.

В силу того, что оценки bj, полученные методом наименьших квадратов, являются несмещенными оценками параметров ру-, т. е. МЬЛ= р , выражение (4.13) примет вид:

Рассматривая ковариационную матрицу У , легко заме-

тить, что на ее главной диагонали находятся дисперсии оценок параметров регресии, ибо

В сокращенном виде ковариационная матрица вектора оценок параметров У имеет вид:

(в этом легко убедиться, перемножив векторы (б-(3) и (б-р)). Учитывая (4.12), преобразуем это выражение:

ибо элементы матрицы X — неслучайные величины.

Матрица Мгг') представляет собой ковариационную матрицу вектора возмущений

в которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю в силу предпосылки 4 о некоррелированности возмущений 8, и вj между собой (см. (3.25)), а все элементы, лежащие на главной диагонали, в силу предпосылок 2 и 3 регрессионного анализа (см. (3.23) и (3.24)) равны одной и той же дисперсии а2:

Поэтому матрица

где Еп — единичная матрица /?-го порядка. Следовательно, в силу (4.15) ковариационная матрица вектора оценок параметров:

или

Итак, с помощью обратной матрицы определяется не

только сам вектор b оценок параметров (4.8), но и дисперсии и ковариации его компонент.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >