Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Экономика arrow ЭКОНОМЕТРИКА
Посмотреть оригинал

Определитель и след квадратной матрицы

Определителем (или детерм и на том) квадратной матрицы я-го порядка (или определителем п-го порядка) А„хпп= (ау) называется число, обозначаемое А„ (или А„ det/1) и определяемое по следующим правилам:

при п = 1

Если Атх = ,;), то А'„хт = (а,,). Например, если

Свойства операции транспонирования:

при п = 2

при п = 3

  • ? Пример 13.2. Вычислить определители:
    • а)

Решение: а) По формуле (13.9)

б) По формуле (13.10)

(При вычислении определителя 3-го порядка Аз использовали правило треугольников, согласно которому соответствующие произведения трех элементов матрицы берутся со знаками «+» и «—»:

Определитель квадратной матрицы п-го порядка (или определитель п-го порядка) при любом п определяется более сложно. Он может быть вычислен с помощью разложения по элементам строки или столбца (теоремы Лапласа):

где ay — элементы любой строки (столбца),

Лц — алгебраическое дополнение элемента a-f

Му — минор элемента а^ — определитель матрицы (п— 1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием /-й строки и j- го столбца.

? Пример 13.3. Вычислить определитель Д3 матрицы из примера 13.2, разложив его по элементам строки (столбца). Решение.

Раскладывая по элементам, например, 1-ой строки, получим по формуле (13.11) с учетом (13.12):

Свойства определителей:

  • 1. и=|4
  • 2. При перестановке любых строк матрицы меняется только знак определителя матрицы.
  • 3. |Л| = 0, если элементы двух строк (или столбцов) пропорциональны (в частном случае — равны).
  • 4. За знак определителя матрицы можно выносить общий множитель элементов любой строки (столбца).
  • 5. Определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (или столбца) прибавить элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
  • 6. |у4#| = |&4| = |л|-|.#| , где А, В — квадратные матрицы.
  • 7. |АЛ| = №А, где X — число, п — порядок матрицы А.
  • 8. |diag (а,, а22...а„„) = аиа22...а„„.
  • 9. |?„| = 1.

Следом квадратной матрицы А п-то порядка (обозначается tr(А) (от английского слова «trace»)) называется сумма ее диагональных элементов:

Свойства следа матриц:

В частности, если А — (я xl) вектор-столбец, В =А, то

где, напомним, АА и А А — соответственно квадратные матрицы я-го и 1-го порядков.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы