Обратная матрица

Матрица А называется невырожденной (неособенной), если А ф 0 . В противном случае (при А = 0 ) А — вырожденная (особенная) матрица.

Матрица А~1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если

Для существования обратной матрицы А~{ необходимо и достаточно, чтобы А 0, т. е. матрица А была невырожденной.

Обратная матрица может быть найдена по формуле

где А — присоединенная матрица:

т. е. матрица, элементы которой есть алгебраические дополнения Ау элементов матрицы А транспонированной к А.

? Пример 13.4.

Дана матрица

Найти А К Решение.

Так

1. А = -27 (вычисляем по формуле (13.10) или (13.11)).

как а * 0 , то А 1 существует.

  • 2.
  • 3.

где элементы есть алгебраические дополнения Ац элементов матрицы А', определяемые по (13.12).

4. По формуле (13.17)

матрицы:

Свойства обратной

1. Л_|=г-г-

И

Ранг матрицы и линейная зависимость ее строк (столбцов)

Рангом матрицы А (обозначается rang А или г(Л)) называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля.

? Пример 13.5.

Найти ранг матрицы

Решение. Легко убедиться в том, что все миноры 2-го

/ 4 0 0 0 4 2 л

порядка равны нулю (например, ^ ^ = О, 0 0=^’ 63=^

и т. д.), а следовательно, равны нулю миноры 3-го порядка и минор 4-го порядка.

Так как среди миноров 1-го порядка есть не равные нулю (например, |4|*0 и т. д.), то г(Л)= 1. ?

Свойства ранга матрицы:

  • 1. 0<г(А) < min(/w,«).
  • 2. г(А)=0 тогда и только тогда, когда А — нулевая матрица, т. е. /1=0.
  • 3. Для квадратной матрицы А п-го порядка г (А) = п тогда и только тогда, когда А — невырожденная матрица.
  • 4. г(А + В)<г(А) + г(В).
  • 5. г(А + В)>г(А)-г(В)
  • 6. r(AB)
  • 7. r(AB) = r(A), если В квадратная матрица /7-го порядка ранга /7.
  • 8. г(ВА) = г (А), если В квадратная матрица т-го порядка ранга т.
  • 9. г (АЛ) = г(А'А) = г(А), где АЛ и Л А — квадратные матрицы соответственно т-го и /7-го порядков.
  • 10. г(АВ)>г(А) + г(В)-п, где п— число столбцов матрицы А или строк матрицы В.

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк (или столбцов).

Пусть строки матрицы А:

е, =(яи а,2...а,„), е2 = (а2| а22...а2„),e„,={emt ет2...ет„).

Строка е называется линейной комбинацией строк е, е^.., ет матрицы, если

где какие-то числа. (Равенство (13.19) понимается

в смысле поэлементного сложения строк, т. е. равенству (13.19) соответствует /? равенств для элементов строк с номерами 1,2,..., /7.)

Строки матрицы е, ^2-.., ет называются линейно зависимыми, если существуют такие числа А,|Д2>—Лю> из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация строк равна нулевой строке'.

где 0 = (0 0... 0).

Если равенство (13.20) выполняется тогда и только тогда, когда Хх = Х2 = ... = Хт =0, то строки матрицы называются линейно независимыми.

Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >