Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей в школьном курсе геометрии

Под внутрипредметными связями мы понимаем всевозможные отношения взаимной зависимости, обусловленности, общности между объектами одного учебного предмета, а под реализацией внутрипредметных связей — использование таких связей в планировании, организации и анализе практики обучения, обеспечивающее формирование у учащихся системности знаний по учебному предмету в единстве с действиями, которые оно вызывает.

Согласно классификации межпредметных связей, приведенной М. Н. Скаткиным и Г. И. Батуриной[1] и затем распространенной нами на классификацию внутрипредметных связей, последние могут быть реализованы как на уровне знаний, так и на уровне видов деятельности (рис. 1.5). Называя элементами науки язык, теорию и прикладную часть, связи на уровне знаний следует раскрывать посредством языка, теории и прикладной части. Осуществление связей на уровне видов деятельности достигается разнообразными методами обучения и организационными формами, общими приемами учебной работы и т.д.

Рис. 1.5

Выбор основания определяется целями, поставленными исследователем или учителем на определенный отрезок времени. В первом случае ставится цель создать у учащихся систему обобщенных знаний, во втором — систему деятельности, общей для различных школьных предметов или общей для различных тем курса одного предмета.

В параграфе 1.1 мы связали метод аналогии с действием, здесь же отметим, что применение аналогии в обучении геометрии является средством реализации внутрипредметных связей на уровне деятельности, причем как репродуктивной (например: построить фигуру в тетради, как это было сделано на доске; в домашней работе найти площадь фигуры, так же как это делали в классе, и др.), так и продуктивной (например: указать различия и найти общее у двух объектов; составить задачу, аналогичную данной, и др.).

В деятельности по установлению аналогии между различными объектами геометрии учителя и учащиеся устанавливают связи с помощью и языка (аналогия применения, релятивная и др.), и теории (аналогия контакта, противоположностей, атрибутивная и др.), и прикладной части (аналогия преобразования, тривиальная и др.).

Отметим, что методики, связанные с совершенствованием процесса отбора и конструированием учебного материала, позволяют реализовывать связи на уровне знаний, раскрывая те из них, которые заложены в учебниках и других учебных пособиях. Однако увеличивающийся объем знаний и соответственно изменяющаяся программа школьного курса требуют построения новых методик обучения, повышающих эффективность учебно-познавательной деятельности учащихся за счет установления связей на уровне видов деятельности. И как показал эксперимент, к таким методикам можно отнести систематическое, обоснованное и целенаправленное использование аналогии в обучении школьников геометрии.

Классификация связей, предложенная М. Н. Скаткиным и Г. И. Батуриной, не является единственной. В русле учебного предмета, в нашем случае — геометрии, внутрипредметные связи могут быть обусловлены как логикой самой науки геометрии, так логикой и возможностями процесса обучения. Соответственно, назовем такие связи логико-математическими и логико-методическими. Заметим, что первый вид внутрипредметных связей существует объективно, а второй отражает субъективную сторону процесса обучения.

Представить курс стереометрии невозможно без фактов, полученных в планиметрии. Более того, в школьных учебниках отмечается: «Из аксиом стереометрии следует, что все теоремы планиметрии справедливы в любой плоскости, а признаки равенства и подобия треугольников, известные из курса планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях»[2].

Так, например, при доказательстве того, что грани треугольной пирамиды с равными между собой ребрами есть равные между собой треугольники, мы с неизбежностью обращаемся к третьему признаку равенства треугольников, рассматриваемому в планиметрии.

Не учитывать логико-математические связи учителю математики не представляется возможным ввиду логики строения самой науки математики — изучение новых разделов математики всегда опирается на предыдущие. Поэтому учитель, готовясь к уроку и проводя логикоматематический анализ темы, должен с необходимостью определить «ядерный» материал, назвать те задачи, на решении которых должно быть сосредоточено внимание в классе с последующим закреплением приемов и методов решения таких задач. Задача же методистов здесь заключается в выявлении основных теорем и задач, которые в методической литературе называют «опорными», «основными», «базисными» и т.п.

Логико-методические внутрипредметные связи, в отличие от логикоматематических, в учебниках явно не присутствуют, их проявление возможно лишь в деятельности, причем как учителя, так и учащихся, а поэтому они могут существовать, а могут и не существовать, вернее сказать: логико-методические внутрипредметные связи могут реализовываться в обучении, а могут и не реализовываться.

В качестве примера приведем формулировку и доказательство двух теорем, представленных в учебниках1. Доказательство оформим в таблице (табл. 1.1), под соответствующими строками которой укажем отношение взаимной зависимости, которое, в свою очередь, может быть либо использовано, либо не использовано при изучении этих теорем. Предварительно заметим, что доказательство легко разбивается на одинаковое число шагов.

Таблица 1.1

Пример аналогии формулировки и доказательства теорем

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания

Теорема. Радиус сферы, проведенной в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости

Одинаковые отношения между схожими объектами (аналогия свойств)

Пусть р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания. Докажем, что р 10А

Рассмотрим плоскость а, касающуюся сферы с центром О в точке. Докажем, что ОА 1 а

Один и тот же метод доказательства (тривиальная аналогия)

Предположим, что это не так

Предположим, что это не так

Одинаковые отрицания утверждения (аналогия преобразования)

1 Геометрия : учебник для 7—9 класов средней школы / Л. С. Атанасян [и др.]. 2-е изд. М. : Просвещение, 1991; Геометрия : учебник для 10—11 классов средней школы.

Окончание табл. 1.1

Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р

Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости а

Так как перпендикуляр, проведенный из точки О касания к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса

Следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости а меньше радиуса сферы

Одинаковый вывод из предположения, основывающийся на свойстве наклонной

(аналогия применения)

Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки

Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности

Схожие заключения (аналогия применения)

Но это противоречит условию: прямая р — касательная

Но это противоречит тому, что плоскость а — касательная, т.е. сфера и плоскость а имеют только одну общую точку

Противоречия совпадают в своей сущности (аналогия отношений)

Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА

Полученное противоречие доказывает, что ОА 1 а

Схожие выводы (аналогия свойств)

Теорема доказана

Теорема доказана

Аналогия контакта

Психолого-педагогический анализ проблемы внутрипредметных связей показал, что при реализации этих связей необходимым условием является их включение в деятельность ученика, итогом которой и будет овладение этими связями. В теории учебной деятельности показано, что усвоение содержания обучения и развитие ученика происходит не путем передачи ему некоторой информации, а в процессе его собственной активной деятельности.

Действительно, овладение внутрипредметными связями характеризуется устойчивым, сформировавшимся знанием или понятием о связях между объектами и методами одного предмета. Согласно психологическим исследованиям Ю. А. Самарина[3], усвоению таких знаний на уровне внутрипредметных ассоциаций предшествуют изолированные, лишенные системности, локальные знания и знания на уровне частносистемных ассоциаций, представляющие собой замкнутые ассоциации в пределах определенных параграфов, отдельных тем в учебниках.

Понятия же о связях, в свою очередь, выступают как специфический результат или продукт теоретической и практической деятельности человека, применительно к школе — учебной деятельности школьников. То, что существует зависимость между внешними практическими действиями и внутренними интеллектуальными операциями, нашло отражение в теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина, в трудах Ж. Пиаже, Л. С. Выготского, А. Н. Леонтьева,

В. В. Давыдова и многих других.

Психологами также отмечается важность предшествующих знаний, умений, навыков в формировании и развитии новых путем включения известных в связи и отношения с неизвестными. Так, Р. С. Немов[4] выделяет установление связей между объектами в процессе восприятия как один из этапов этого процесса; М. А. Холодная говорит о необходимости таких форм организации учебной информации, которые позволяли бы школьнику «мысленно участвовать в процессе рождения нового понятия, пересматривать его содержание по мере углубления представлений о соответствующих математических объектах вплоть до самостоятельного выстраивания нового понятия на базе некоторых исходных понятийных знаний»[5].

Реализация внутрипредметных связей определяется также и возрастными особенностями старшеклассников.

Старший школьный возраст — это пора жизненного самоопределения, выбора профессии, многие ученики в этом возрасте связывают свои жизненные планы с продолжением образования. Поэтому учение для школьников приобретает конкретный жизненный смысл, так как успешное усвоение знаний, умений и навыков является важным условием их вхождения в самостоятельную взрослую жизнь и во многом к поступлению в вуз. Аналогия же помогает повторить пройденный материал, систематизировать полученные знания.

Л. М. Фридман указывает на появление новых мотивов обучения, отсутствующих у подростков. Это самосовершенствование (стремление повышать свой культурный уровень, желание стать интересным, «многознающим» человеком) и связанный с ним интерес к учению[6]. А. К. Маркова[7] также указывает на возникновение потребности и возможности совершенствования своей учебной деятельности, что проявляется в стремлении к самообразованию, выходу за пределы школьной программы. Поэтому «задача учителя — воспитывать и поощрять у старших школьников желание познавать и объяснять окружающие явления»[8]. Аналогия, выступающая как метод научного познания, может явиться средством, удовлетворяющим потребности старшеклассников.

С точки зрения психологии подтверждение тому можно найти в различных исследованиях: Р. С. Немов[9] отмечает, что важнейшее интеллектуальное приобретение подросткового возраста — это умение оперировать гипотезами; у старшеклассников «наиболее развиты по сравнению с другими следующие умения: обобщать, устанавливать аналогии и использовать знания, полученные в результате обучения»[10].

Рассматривая внутрипредметные связи в школьном курсе геометрии с различных сторон, мы затронули условия, являющиеся предпосылками их реализации. Среди причин, обусловливающих необходимость реализации внутрипредметных связей в школьном курсе геометрии, мы выделяем следующие.

  • 1. Специфика логического строения науки геометрии, выражающаяся в том, что:
    • • многие геометрические понятия определяются через другие понятия, т.е. органически связаны с ними;
    • • при решении большинства стереометрических задач происходит «сведение» стереометрической задачи к планиметрической;
    • • при решении многих планиметрических или стереометрических задач используются те же способы, методы, приемы, что и при решении других задач, последние же могут относиться как к планиметрии, так и к стереометрии;
    • • существуют задачи, в частности теоремы, результаты решения или доказательства которых используются для решения или доказательства других задач, теорем.
  • 2. Требования к качествам знаний. Среди таких требований И. Я. Лернер[11] выделяет полноту и глубину, систематичность и системность, оперативность и гибкость, конкретность и обобщенность, свернутость и развернутость, осознанность и прочность. Т. И. Шамова и Т. М. Давыденко[12], исследуя связи и взаимозависимости указанных выше качеств знаний, выявили те качества, которые несут в себе интегративные функции: системность, действенность и прочность. Большую роль внутрипредметные связи будут играть при формировании тех качеств знаний, сутью которых они являются, особенно:
    • • системности знаний, характеризуемой осознанием учеником знаний по их месту в структуре научной теории;
    • • систематичности знаний, характеризуемой наличием в сознании ученика только содержательно-логических связей между отдельными фрагментами знаний;
    • • действенности знаний, характеризуемой «пониманием принципа действия связей и механизма их становления»[13], а также умением ученика применять имеющиеся знания в новых ситуациях;
    • • глубины знаний, характеризуемой совокупностью «осознанных учащимся существенных связей между соотносимыми знаниями»[14].
  • 3. Психологические закономерности мышления, выражающиеся в том, что:
    • • процесс запоминания для подростка связан с установлением логических отношений внутри запоминаемого материала, а воспроизведение представляет из себя восстановление материала по этим отношениям[9];
    • • процесс решения задач (доказательства теорем) связан с теми знаниями, которыми располагает решающий и которые он может актуализировать, воспроизвести в конкретной обстановке.

Нами выявлены средства реализации внутрипредметных связей, такие как:

  • а) проведение в курсе единой научной концепции, последовательно развиваемой при изучении различных вопросов;
  • б) создание языка, который отражает структуру взаимосвязей между понятиями;
  • в) выявление в курсе ведущих понятий, способствующих упорядочению всей понятийной структуры курса;
  • г) определение на основе выделенных ведущих понятий содержательно-методических линий курса;
  • д) определение наиболее эффективной последовательности изучения понятий, тем, разделов курса;
  • е) создание таких средств наглядности, которые бы способствовали реализации внутрипредметных связей;
  • ж) определение наиболее эффективных методов изложения материала в учебниках.

Дополним данный список еще одним пунктом, имеющим общее с выделенными выше, но в то же время не совпадающим с ними, а значит, имеющим право на самостоятельное существование:

з) использование приемов и методов обучения, включающих в себя связи между геометрическими объектами, одним из которых является метод аналогии.

Как отмечает П. М. Эрдниев, при использовании аналогии в обучении сохраняется информация связи, характеризующей переход и превращение предметов и явлений[16].

Подчеркнем, что реализация внутрипредметных связей не есть самоцель, ибо их учет учителем в практике преподавания, их выявление школьниками в процессе учения выражаются в трех функциональных аспектах: обучающем, развивающем и воспитывающем. При этом внутрипредметные связи:

  • • способствуют установлению логических связей между понятиями и тем самым развивают логическое мышление учащихся;
  • • выступают средством предупреждения и ликвидации формализма в знаниях учащихся, так как они способствуют включению того или иного понятия в большее число связей с другими понятиями, раскрывают большее число его свойств;
  • • позволяют сформировать такую систему знаний, которая предстает перед учащимися не как застывшая, а как динамичная, качественно изменяющаяся;
  • • сокращают затраты учебного времени, способствуют устранению перегрузки учащихся;
  • • служат средством формирования единой системы взглядов на современную научную картину того или иного учебного предмета.

Перейдем к вопросу о логико-математических и логико-методических связях между различными понятиями курса геометрии, устанавливаемых посредством аналогии.

Констатирующий эксперимент, проведенный нами, показал, что со стороны учебной деятельности метод аналогии предполагает следующие действия:

  • • проводить аналогичные рассуждения при решении сходных задач;
  • • составлять задачи, аналогичные заданным;
  • • устанавливать связи между геометрическими объектами и объектами реальной действительности;
  • • устанавливать связи между моделями и их прототипами в курсе геометрии;
  • • указывать принципиальные различия между заданными объектами;
  • • находить соответственные элементы в заданных геометрических фигурах;
  • • строить объекты, аналогичные их прототипам;
  • • выдвигать гипотезы;
  • • проверять утверждения, полученные с помощью аналогии.

Как показали наши исследования, такие действия формируются у учащихся при создании списка пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии, решении и составлении пар аналогичных задач.

Отметим, что идея создания списка пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии отмечалась и ранее[17]. Однако методика его создания и дальнейшего применения не проводится. Обычно предлагаемый список имеет два столбца: в первом столбце приводятся планиметрические понятия и в соответствии с ними во втором — стереометрические. Мы же предлагаем несколько иной подход к структуре списка и показываем его применение в обучении.

Выделим два обстоятельства, повлиявшие на структуру создания списка пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии.

С одной стороны, в определениях и задачах школьного курса геометрии встречается лишь ограниченное число геометрических понятий. Следовательно, список аналогичных понятий должен быть конечным. С другой стороны, можно выделить такое число геометрических фигур, доступных пониманию школьника, что говорить о создании конечного списка нецелесообразно. Приведем два примера, описывающие пары аналогичных геометрических фигур, которые вряд ли встречаются в школьных учебниках геометрии.

Фигуре, изображенной на рис. 1.6, а, полученной «вырезанием» треугольника из прямоугольника и дальнейшим «приклеиванием» такого же треугольника к противоположной стороне данного прямоугольника, соответствует фигура, изображенная на рис. 1.6, б, полученная «вырезанием» конуса из цилиндра и дальнейшим «приклеиванием» такого же конуса к противоположному основанию данного цилиндра.

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Отрезку, соединяющему точки на смежных сторонах квадрата, отстоящие от общей вершины квадрата на четверть длины его стороны (рис. 1.7, а), соответствует треугольник, вершины которого есть точки, лежащие на смежных ребрах куба, отстоящие от общей вершины куба на четверть длины его ребра (рис. 1.7, б).

Подобных примеров можно привести множество. Поэтому, создавая список пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии, можно поступить так: составим конечный список пар основных геометрических понятий (назовем его основным); далее для каждой пары основного списка составляются отдельные, необязательно конечные списки пар геометрических величин, фигур и их свойств, каким-либо образом связанных с основной парой (такие списки назовем производными).

Реализация внутрипредметных связей будет осуществляться в процессе составления и расширения списков пар основного и производного аналогичных объектов планиметрии и стереометрии, причем в создании основного списка ведущая роль принадлежит учителю, а создание производного списка в большей мере определяется деятельностью ученика.

Отметим, что список пар аналогичных объектов планиметрии и стереометрии является одним из результатов применения метода аналогии в обучении, и в этом случае он выступает в качестве цели. В то же время в процессе деятельности по целенаправленному применению аналогии данный список используется для нахождения аналогичных объектов и установления связей между ними, и в этом случае он выступает в качестве средства.

В процессе обучения учащихся использованию аналогии мы не стали создавать списки пар аналогичных объектов планиметрии или же объектов стереометрии. Это связано с тем, что при обучении школьников стереометрии мы больший акцент делали на перенос свойств из планиметрии в стереометрию, нежели на такой перенос внутри стереометрии или планиметрии.

Реализация внутрипредметных связей с помощью метода аналогии неразрывно связана с актуализацией и систематизацией знаний учащихся.

Действительно, актуализация знаний в процессе обучения предполагает припоминание ранее изученного материала учащимися и помощь им в этом со стороны учителя. Так, например, старшеклассник, решая стереометрическую задачу, переносит в ее решение способы, результаты, способы и результаты уже решенных задач как стереометрических, так и планиметрических. Учитель, объясняя новый материал, опирается на знания учащихся, уже ими усвоенные. Ю. Н. Кулюткин пишет, что умение установить аналогию между старыми и новыми задачами, между способами их решения является одним из решающих условий эвристической деятельности и обучения[18].

Систематизации знаний учащихся способствует создание списка пар аналогичных объектов планиметрии и стереометрии, ввиду того что сам список обладает качествами, общими для характеристики любой системы: целостность, структурность, иерархичность, взаимосвязь системы и среды[19]. Рассмотрим их толкование в методическом аспекте.

Целостность означает внутреннее единство объекта, его относительную автономность, которая проявляется как всесторонний охват всех свойств, сторон объекта[20]. Наш подход позволяет охватить все множество планируемых программой понятий и большинство свойств этих понятий в их единстве и неотъемлемости. Это достигается тем, что основной список содержит большинство геометрических фигур школьного курса, а производный — их свойства и другие понятия, не вошедшие в основной список.

Структурность предполагает наличие сети связей и отношений среди объектов системы. Система является структурированной, если возможно ее представление через описание ее структуры, что мы и делали, составляя данный список.

Иерархичность характеризуется упорядоченной организованностью взаимодействий между отдельными элементами по вертикали, т.е. указанием главных элементов (уровней) и им подчиненных. В нашем случае основной список соответствует первому, основному уровню, производные списки относятся ко второму уровню, тем самым обеспечивается свойство иерархичности.

Взаимосвязь системы и среды подразумевает, что система «формирует и проявляет свои свойства в процессе взаимодействия со средой»[21]. Относительно данного списка это проявляется в том, что его обогащение происходит за счет результатов учебной деятельности школьников и, обратно, такая деятельность предполагает использование аналогии между геометрическими объектами, т.е. элементами как основного, так и производных списков. Отсюда вытекает еще одна немаловажная характеристика нашего списка — это его динамичность или открытость — возможность расширения за счет привлечения и рассмотрения нового содержания.

Охарактеризуем один из основных элементов списка пар аналогичных объектов планиметрии и стереометрии — аналогичные геометрические фигуры.

Геометрические фигуры будем называть аналогичными, если можно выделить определенную систему совпадающих свойств этих фигур.

В данном случае под системой следует понимать совокупность свойств, характерных только лишь для рассматриваемых фигур. Причем, подобно тому как увеличивается объем понятия (множество объектов, к которым применимо данное понятие) при уменьшении содержания понятия (множество всех существенных признаков данного понятия), можно говорить об увеличении количества аналогичных объектов при уменьшении количества их свойств и наоборот.

Причем под свойствами мы понимаем не только те положения, которые в учебниках геометрии обозначены этим понятием, но и множество всех (истинных) высказываний, относящихся к данной фигуре, а это и аксиомы, и теоремы, и задачи.

Словосочетание «определенная система» подчеркивает зависимость аналогии, а точнее, свойства геометрических фигур быть аналогичными от выбранных свойств этих фигур.

В качестве примера сравним прямоугольник и прямоугольный параллелепипед. Если рассматривать свойства прямоугольного параллелепипеда, характеризующие его как пространственную фигуру (иметь поверхность, объем, шесть граней), то среди свойств прямоугольника таких не обнаружится, и тогда прямоугольник не будет аналогичен прямоугольному параллелепипеду, но данные фигуры можно считать аналогичными относительно других свойств: быть ограниченной фигурой, иметь параллельные или перпендикулярные граничные элементы, иметь измерения, иметь равные между собой диагонали и др.

Исследователи в области применения аналогии в обучении рекомендуют создавать список пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии. Однако при этом приводят уже готовый список, нередко опуская процесс его создания, что крайне важно, а поэтому в гл. 2 мы рассматриваем способы нахождения аналогичных фигур.

Охарактеризуем аналогию между величинами в плане реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии.

Между различными свойствами геометрических фигур существуют определенные связи, часть которых отражается в зависимостях между соответствующими величинами. В курсе школьной геометрии встречаются величины, которые выражаются действительными числами: величина угла, длина, площадь, объем и величины, связанные с векторами (рис. 1.8).

Рис. 1.8

В литературе отмечается, что понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения[22]. Совместное же изучение аналогичных количественных отношений, характеризующих различные объекты, дает возможность ученику видеть связи между такими объектами.

Для нас наибольший интерес с точки зрения реализации внутри- предметных связей курса геометрии представляет раскрытие аналогии между такими величинами, как длина, площадь и объем.

В курсе стереометрии понятие объема тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Так, в учебнике А. В. Погорелова[23] площадь и объем определяются аналогично, с той лишь разницей, что объем есть характеристика тела, а площадь — характеристика фигуры на плоскости (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Пример аналогии определения и свойств

Определение

Для простых фигур площадь — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами

Для простых тел объем — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами

Свойства

1. Равные фигуры имеют равные площади

1. Равные тела имеют равные объемы

2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей

2. Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей

3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице

3. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице

В учебниках авторского коллектива Л. С. Атанасяна и др.[24] при введении понятия объема тела проводится аналогия с известным понятием площади многоугольника. При рассмотрении свойств объемов (аналогичных свойствам 1 и 2 в табл. 1.2) отмечается, что «аналогичными свойствами обладают длины отрезков и площади многоугольников»[25]. Однако привлечение аналогии при введения понятий площади и объема не имеет своего продолжения в следующих пунктах учебников, посвященных выводам формул площадей и объемов геометрических фигур, тел.

Возможности практической реализации внутрипредметных связей курса геометрии при изучении величин открывает процесс их измерения: сначала выбирают единицу измерения, затем осуществляется сам процесс измерения, в результате которого находят число, показывающее, сколько раз выбранная единица измерения и ее части укладываются в данной фигуре. Таким образом обнаруживаем аналогию между длиной, площадью и объемом, а точнее — между процессами их измерения.

Обычно в задачах школьного курса геометрии за единицу измерения длины выбирают отрезок, площади — квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков, объема — куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Тогда получают соответственно линейные единицы, квадратные единицы, кубические единицы.

Существуют также случаи, когда за единицу измерения выбирают другие объекты, например площадь выражают в гектарах, объем — в литрах. В рамках данного исследования следует отметить, что тогда процесс измерения рассматриваемых нами величин остается прежним. Покажем аналогию в измерении одной и той же величины разными единицами измерения на примере нахождения площади круга.

Поместим круг на клетчатую основу (рис. 1.9, а), допустим, что площадь одной клетки 1 см2, тогда площадь круга есть число, показывающее, сколько квадратов и его частей укладывается в данном круге. Приближенно такое число можно найти так: найти сумму числа квадратов, полностью принадлежащих кругу, и половины числа квадратов, частично принадлежащих кругу. Тогда получим, что площадь круга приближенно равна 46 см2.

Рис. 1.9

Выберем в качестве единицы измерения другие объекты — равносторонний треугольник и прямоугольник. В результате аналогичных действий получим, что площадь круга приближенно равна 51 площади заштрихованного равностороннего треугольника (рис. 1.9, б), или 68 площадям заштрихованного прямоугольника (рис. 1.9, в).

Если определить, площадь какого треугольника (прямоугольника или другой единицы измерения) считать равной единице, можно получать площади фигур, выраженных в треугольниках (прямоугольниках или других единицах измерения).

Отметим, что, с одной стороны, величины могут изучаться самостоятельно, безотносительно конкретных геометрических фигур, но, с другой стороны, они не существуют сами по себе, «как некие субстанции, оторванные от материальных объектов и их свойств... Величины вводят в ходе познания для описания явлений природы»[26].

Подобное замечание можно сделать и относительно другого выделенного нами объекта геометрии — отношений. При их рассмотрении мы пытались определить, что понимать под аналогичными отношениями. Однако анализ и результаты эксперимента показали, что явно определять понятие «аналогичные отношения», как это было сделано в случае «аналогичных фигур», нецелесообразно, достаточно ограничится его интуитивным пониманием. В своей работе мы не разграничиваем четко понятия аналогичных отношений и аналогичных свойств фигур.

Приведем пример. Из курса планиметрии нам известно, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. В этом утверждении рассматриваются отношения между сторонами треугольника и действительными числами, а также отношение равенства чисел. Однако на практике данное утверждение вряд ли связывается с термином «отношение», а вот термин «свойство» к нему более употребим: свойство диагонали прямоугольника.

  • [1] Скаткин М. Н., Батурина Г. И. Межпредметные связи, их роль и место в процессеобучения // Межпредметные связи в процессе преподавания основ наук в среднейшколе: Тезисы Всесоюзной конференции. Ч. I. М. : Изд-во НИИ ОП АПН СССР, 1973.С. 18—23.
  • [2] Геометрия : учебник для 10—11 классов средней школы / Л. С. Атанасян [и др.].М. : Просвещение, 1992. С. 6.
  • [3] Самарин Ю. А. Очерки психологии ума: особенности умственной деятельностишкольников. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.
  • [4] Немов Р. С. Психология : учебник для студентов высш. пед. учеб, заведений. В 3 кн.Кн. 3. Экспериментальная педагогическая психология и психодиагностика. 2-е изд. М. :Просвещение ; ВЛАДОС, 1995.
  • [5] Холодная М. А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. Томск : Изд-воТом. ун-та ; М. : Барс, 1997. С. 329.
  • [6] Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе.М. : Просвещение, 1983.
  • [7] Маркова А. К., Матис Т. А., Орлов А. Б. Формирование мотивации учения : книгадля учителя. М. : Просвещение, 1990.
  • [8] Смирнова И. М. Многогранники и их приложения на факультативных занятияхв средней школе : дис. ... канд. пед. наук. М., 1987. С. 18.
  • [9] Немов Р. С. Указ. соч.
  • [10] Особенности обучения и психического развития школьников 13—17 лет / под ред.И. В. Дубровиной, Б. С. Кругловой. М. : Педагогика, 1988. С. 85.
  • [11] Лернер И. Я. Качества знаний учащихся. Какими они должны быть? М. : Знание,1978.
  • [12] Шамова Т. И., Давыденко Т. М. Управление процессом формирования системыкачеств знаний учащихся : метод, пособие. М. : Изд-во МГПИ имени В. И. Ленина, 1990.
  • [13] Лернер И. Я. Качества знаний учащихся. С. 34.
  • [14] Там же. С. 16.
  • [15] Немов Р. С. Указ. соч.
  • [16] Эрдниев П. М. Аналогия в математике. М. : Знание, 1971.
  • [17] Хынг Б. 3. Указ. соч.
  • [18] Кулюткин Ю. Н. Эвристические методы в структуре решений. М. : Педагогика,1970. С. 157.
  • [19] Большая советская энциклопедия. В 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. М. : Советскаяэнциклопедия, 1976. Т. 23. С. 463.
  • [20] Философский словарь / под ред. И. Т. Фролова. 6-е изд., перераб. и доп. М.: Политиздат, 1991.
  • [21] Большая советская энциклопедия. В 30 т. Т.23. С. 464.
  • [22] Гусев В. А., Иванов А. И., Шебалин О. Д. Изучение величин на уроках математикии физики в школе. М. : Просвещение, 1981.
  • [23] Погорелое А. В. Геометрия : учебник для 7—11 классов средней школы. 2-е изд. М. :Просвещение, 1991.
  • [24] Геометрия : учебник для 7—9 класов средней школы; Геометрия : учебник для10—11 классов средней школы.
  • [25] Геометрия : учебник для 10—11 классов средней школы. С. 149.
  • [26] Гусев В. А., Иванов А. И., Шебалин О. Д. Указ. соч. С. 7.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >