Задачи для самостоятельной работы

Здесь мы приводим пары задач (и иногда группы большего размера), в которых параллельно формулируется плоскостной и аналогичный ему пространственный факт. Данные задачи целесообразно решать методом аналогии, так как очевиден факт установления связей между задачами стереометрии и планиметрии.

  • 1.1. К какой геометрической фигуре будет стремиться прямоугольник, если: а) его ширина стремится к нулю; б) длина прямоугольника стремится к нулю?
  • 1.2. К какой геометрической фигуре будет стремиться прямоугольный параллелепипед, если: а) его высота стремится к нулю; б) площадь основания стремится к нулю?
  • 2.1. Пусть радиус окружности равен R. В какую фигуру преобразуется окружность, если R —> 0; R —» оо?
  • 2.2. Пусть радиус сферы равен R. В какую фигуру преобразуется сфера, если: a) R —» 0; б) R —> оо?
  • 2.3. Пусть радиус основания конуса равен R. В какую фигуру преобразуется конус, если R—>0?
  • 3.1. В какую фигуру преобразуется прямоугольник, если его диагональ стремится к нулю?
  • 3.2. В какую фигуру преобразуется прямоугольный параллелепипед, если его диагональ стремится к нулю?
  • 4.1. Сторона квадрата уменьшается в 10 раз. Уменьшится ли одновременно с этим площадь квадрата в 10 раз?
  • 4.2. Ребро куба уменьшается в 10 раз. Уменьшится ли одновременно с этим объем куба в 10 раз?
  • 4.3. Ребро куба уменьшается в 10 раз. Уменьшится ли одновременно с этим площадь полной поверхности куба в 10 раз?
  • 5.1. Дан правильный треугольник АВС. Будет ли изменяться значение АС, если площадь треугольника остается постоянной, а его высота ВН-> 0?
  • 5.2. Дан правильный тетраэдр SABC. Как будет изменяться его основание АВС, если его объем остается постоянным, а высота этого тетраэдра SH —> 0?
  • 6.1. Пусть медиана ВМ треугольника АВС стремится к нулю. Будет ли при этом точка В стремиться занять какое-либо определенное положение?
  • 6.2. Длина отрезка SM, соединяющего вершину S тетраэдра SABC с центром тяжести противолежащей грани, стремится к нулю. Будет ли при этом точка М стремится к центру окружности, описанной около треугольника АВС?
  • 7.1. К какому значению должно стремиться п, чтобы площадь правильного п-угольника, вписанного в окружность (радиус окружности не изменяется), стала: а) наибольшей; б) наименьшей?
  • 7.2. Возможна ли следующая постановка задачи. К какому значению должно стремиться п, чтобы объем правильного многогранника, имеющего п граней стал: а) наибольшим; б) наименьшим?
  • 8.1. Каждое звено замкнутой ломаной равно а. Ломаная не имеет точек самопересечения, из каждой ее вершины выходят два звена. Что будет представлять собой ломаная, если площадь ее внутренней области стремится к своему максимальному значению?
  • 8.2. В основании прямой призмы лежит ромб, сторона которого равна а. Найдите наибольшее значение объема этой призмы, если ее высота также равна а.
  • 9.1. Диагонали параллелограмма ABCD обозначим d1 и d2. В какую фигуру преобразуется параллелограмм ABCD, если d} —> с и d2 —> с, где с = const?
  • 9.2. В какую фигуру преобразуется параллелепипед, если его диагонали стремятся к определенному значению?
  • 10.1. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Определите значения высот параллелограмма ABCD, если его вершины В и D стремятся к точке О.
  • 10.2. Одна из вершин прямоугольного параллелепипеда стремится к точке пересечения его диагоналей. Определите, к каким значениям при этом стремятся длины самих диагоналей.
  • 11.1. Середины боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС обозначим соответственно М и N. Его высота ВН увеличивается в 100 раз. Будет ли при этом увеличиваться длина отрезка МАГ?
  • 11.2. Изменится ли площадь сечения конуса, проходящего через середину его высоты параллельно основанию, если высоту конуса увеличить в 100 раз?
  • 12.1. В треугольнике АВС провести прямую DE, параллельную АВ, так, чтобы площадь треугольника MDE была максимальной (точка М принадлежит АВ, D и Е на боковых сторонах).
  • 12.2. В тетраэдре ABCD провести сечение BCD, параллельное основанию BCD, так, чтобы объем тетраэдра MBCD был наибольшим (точка М на основании BCD, точки В, С, D на ребрах тетраэдра).
  • 13.1. Определите вид треугольника АВС, если точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника стремится к середине одной из его сторон.
  • 13.2. Можно ли определить величины углов, образованных ребрами правильной четырехугольной пирамиды, если центр описанной около нее сферы стремится к центру основания данной пирамиды?
  • 14.1. Серединные перпендикуляры сторон треугольника АВС пересекаются в точке О. К чему будет стремиться расстояние от точки О до прямой АС, если: a) ZB —» 180°; б) ZB —» 90°; в) ZB —» 0°?
  • 14.2. Серединные перпендикуляры образующих конуса пересекаются в точке О. К чему будет стремиться расстояние от этой точки до основания конуса, если угол, под которым виден диаметр основания данного конуса стремится: а) к 180°; б) 90°; в) 0°?
  • 15.1. Сторона АВ квадрата ABCD стремится к своему максимальному значению. В какую фигуру преобразуется квадрат ABCD, если постоянными остаются длины только указанных сторон: a) AD; б) CD; в) AD и CD; г) AD и ВС; д) AD, CD и ВС?
  • 15.2. Диагональ грани куба стремится к своему максимальному значению. В какую фигуру преобразуется куб, если: а) могут изменяться длины всех ребер куба; б) длины всех ребер куба остаются постоянными?
  • 16.1. Определите длины катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС, если его гипотенуза не изменяется, а высота: а) СН —> 0; б) СН —> шах?
  • 16.2. Плоские углы при вершине S пирамиды SABC равны 90°. Основание АВС есть равносторонний треугольник со стороной равной а. Определите длины ребер SA, SB и SC, если высота SH данной пирамиды стремится к нулю.
  • 17.1. Через точку М, взятую внутри прямого угла, проведена прямая АС, пересекающая стороны этого утла. При каком условии прямоугольный треугольник, образованный секущей прямой и сторонами угла, будет иметь наибольшую площадь?
  • 17.2. Через точку М, взятую внутри прямого трехгранного угла, проведена плоскость BCD, пересекающая ребра этого утла. При каком условии прямоугольный тетраэдр, образованный секущей плоскостью и ребрами трехгранного угла, будет иметь наибольший объем?
  • 18.1. Опишите такое предельное преобразование квадрата, которое переводит этот квадрат в другой квадрат, вершинами которого являются середины сторон исходного квадрата.
  • 18.2. Дан параллелепипед ABCDA^CjDj. Каждая из четырех вершин параллелепипеда, таких что никакие две из них не лежат на одном ребре, стремится к внутренней области того треугольника, сторонами которого являются отрезки, соединяющие три вершины параллелепипеда, лежащие на одних и тех же ребрах, что и данная вершина. Какая фигура будет получаться при описанном выше преобразовании, если ABCDAjBjCjDj является: а) произвольным параллелепипедом; б) прямоугольным параллелепипедом; в) кубом?
  • 19.1. Четырехугольник ABCD описан около окружности. К чему будет стремиться AD, если радиус окружности остается постоянным, а сторона ВС —> 0? Будет ли AD —> 0, если ВС —> <*>?
  • 19.2. Куб описан около сферы. К чему будет стремиться площадь одной грани куба, если площадь противоположной грани куба стремится к нулю, а радиус сферы остается постоянным?
  • 20.1. Внутри квадрата расположены две равные окружности, которые касаются внешним образом и по крайней мере двух противоположных сторон квадрата. Будем изменять радиусы окружностей, оставляя сторону квадрата величиной постоянной. Существует ли предел радиуса одной из окружностей, если радиус другой стремится к своему максимальному значению?
  • 20.2. Внутри куба расположены две равные сферы, которые касаются внешним образом. Будем изменять радиусы сфер, оставляя ребро куба величиной постоянной. Существует ли предел радиуса одной из сфер, если радиус другой стремится к своему минимальному значению?
  • 21.1. Хорды окружности АС и BD пересекаются в точке О и стремятся занять такое положение, чтобы точка О была бы серединой АС и серединой BD. Чему при этом будут равны отношения: а) ОВ к ОС; б) ОВ к OD; в) произведений ОА и ОС к ОВ и OD?
  • 21.2. Хорды сферы (отрезки, соединяющие две произвольные точки сферы) АС и BD пересекаются в точке О и стремятся занять такое положение, чтобы точка О была бы серединой АС и серединой BD. Можно ли указать численное значение отношений: а) ОВ к ОС; б) ОВ к OD; в) произведений ОА и ОС к ОВ и OD?
  • 22.1. Точки М, N, К принадлежат соответственно сторонам АВ, ВС, АС треугольника АВС и являются вершинами нового треугольника MNK. Будут ли стороны треугольника MNK параллельны соответствующим сторонам треугольника АВС, если каждая из точек М, N, К стремится к середине той стороны, на которой лежит?
  • 22.2. Будут ли середины ребер тетраэдра являться вершинами другого тетраэдра? Укажите такие элементы правильного тетраэдра, которые можно принять за вершины нового тетраэдра.
  • 23.1. Как изменится площадь треугольника, если его высоту увеличить на тединиц?
  • 23.2. Дана пирамида. Как изменится ее объем, если высоту увеличить на п единиц?
  • 24.1. Имеются два треугольника с одним и тем же основанием. Постройте треугольник, равновеликий сумме площадей данных треугольников.
  • 24.2. Две пирамиды с одним и тем же основанием замените одной пирамидой, равновеликой сумме объемов данных пирамид.
  • 25.1. Докажите, что площадь круга равна площади треугольника, основание которого имеет ту же длину, что и окружность, а высота которого равна радиусу окружности.
  • 25.2. Докажите, что объем шара равен объему пирамиды, площадь основания которой равна площади поверхности шара, а высота пирамиды равна радиусу.
  • 26.1. Пусть S — это сумма площадей п одинаковых кругов, расположенных внутри квадрата так, что S - max и круги не перекрывают друг друга. Будет ли увеличиваться S, если п —> °о?
  • 26.2. Пусть V — это сумма объемов п одинаковых металлических шаров, расположенных внутри куба так, что V = шах. Будет ли увеличиваться V, если п —> оо?
  • 27.1. В какую фигуру преобразуется прямоугольник, вписанный в окружность, если его площадь S —> шах?
  • 27.2. В какую фигуру преобразуется прямоугольный параллелепипед, вписанный в сферу, если его объем V —» шах?
  • 28.1. Какой из всех треугольников, вписанных в данную окружность, имеет наибольшую площадь?
  • 28.2. Какой из всех тетраэдров, вписанных в данную сферу, имеет наибольший объем?
  • 29.1. Верно ли то, что из всех треугольников, вписанных в полуокружность и имеющих общее основание, являющееся диаметром полуокружности, наибольшую площадь имеет тот треугольник, у которого боковые стороны равны?
  • 29.2. Верно ли то, что из всех треугольников, вписанных в полуокружность и имеющих общее основание, принадлежащее диаметру полуокружности, наибольшую площадь имеет тот треугольник, у которого боковые стороны равны?
  • 29.3. Верно ли то, что из всех тетраэдров, вписанных в данный шаровой сегмент и имеющих общее основание, вписанное в круговое сечение сегмента, наибольший объем имеет тот тетраэдр, у которого боковые ребра равны?
  • 30.1. Верно ли, что из всех треугольников, вписанных в данный сегмент с общим основанием на дуге сегмента, равнобедренный имеет наибольшую площадь?
  • 30.2. Верно ли, что из всех тетраэдров, вписанных в данный шаровой сегмент и имеющих общее основание, вписанное в круговое сечение сегмента, наибольший объем имеет тот тетраэдр, у которого боковые ребра равны?
  • 31.1. Дан прямоугольный треугольник АВС, такой что АС -Ь, ВС - а, ZC = 90°. Вращая треугольник АВС вокруг катета АС, получим конус АВВ'; вращая треугольник АВС вокруг катета ВС, получим конус ВАА'. Как соотносятся площади боковых поверхностей полученных конусов? Находятся ли объемы конусов в таком же отношении?
  • 31.2. Дан прямоугольник ABCD. Вращая его вокруг стороны АВ, получим цилиндр CDD'C', вращая его вокруг стороны ВС, получим цилиндр DAA'D'. Как соотносятся площади боковых поверхностей полученных цилиндров? Находятся ли объемы цилиндров в таком же отношении?
  • 32.1. При вращении прямоугольника ABCD вокруг диагонали BD точки А и С опишут равные окружности, которые можно принять за основания цилиндра. Найдите объем полученного таким образом цилиндра, если АВ = 3 см, ВС = 4 см.
  • 32.2. При вращении куба ABCDAlB1ClDl со стороной 6 см вокруг диагонали ВгЭ точки В и Da опишут равные окружности, которые можно принять за основания цилиндра. Найдите объем полученного таким образом цилиндра.
  • 33.1. Докажите, что если точка перемещается по основанию равнобедренного треугольника, то сумма расстояний от этой точки до боковых сторон остается постоянной.
  • 33.2. Докажите, что если точка перемещается по плоскости основания правильной треугольной пирамиды и остается внутри этого основания, то сумма расстояний от этой точки до боковых граней остается постоянной.
  • 34.1. Докажите, что сумма расстояний от любой точки М, лежащей внутри равностороннего треугольника, до всех его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника.
  • 34.2. Докажите, что сумма расстояний любой точки, лежащей внутри правильного тетраэдра, до всех его граней есть величина постоянная, равная высоте тетраэдра.
  • 35.1. Каждая сторона треугольника разделена на п равных частей. Через полученные точки проведены всевозможные прямые, параллельные сторонам треугольника. На сколько частей разделяют треугольник эти прямые?
  • 35.2. Каждое ребро треугольной пирамиды разделено на п равных частей, через полученные точки проведены всевозможные плоскости, параллельные граням пирамиды. На сколько частей разделяют пирамиду эти прямые?
  • 36.1. На стороне АВ треугольника АВС лежит точка М так, что AM : МВ = к.В каком отношении делит площадь треугольника прямая, проходящая через точки М и С?
  • 36.2. Основанием пирамиды OABCDE является параллелограмм АВСЕ. Точка М лежит на ребре ОЕ так, что ОМ : ОЕ = к. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через прямую АВ и точку М?
  • 37.1. Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
  • 37.2. Докажите, что если трехгранный угол одного тетраэдра равен трехгранному углу другого тетраэдра, то объемы этих тетраэдров относятся как произведения ребер этих тетраэдров, выходящих из вершин этих трехгранных углов.
  • 38.1. Через середину высоты треугольника проведена прямая, параллельная основанию. В каком отношении она делит площадь треугольника?
  • 38.2. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?
  • 39.1. Высота треугольника равна h. На каком расстоянии от вершины находится прямая, параллельная основанию и делящая ее площадь пополам?
  • 39.2. Высота пирамиды равна h. На каком расстоянии от вершины находится сечение параллельное основанию и делящее ее объем пополам?
  • 40.1. Найдите точку, которая, будучи соединена с вершинами треугольника, делила бы его на три равновеликие треугольника.
  • 40.2. Найдите точку, которая, будучи соединена с вершинами тетраэдра, делила бы его на четыре равновеликие тетраэдра.
  • 41.1. Найдите центр тяжести однородного треугольника.
  • 41.2. Найдите центр тяжести однородного тетраэдра.
  • 42.1. Докажите, что во всякий треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
  • 42.2. Докажите, что во всякий тетраэдр можно вписать сферу, и притом только одну.
  • 43.1. Верно ли, что если центр окружности, вписанной в треугольник, стремится к центру описанной окружности, то такой треугольник равносторонний?
  • 43.2. Верно ли, что если центр сферы, вписанной в тетраэдр, стремится к центру описанной сферы, то все грани тетраэдра равные треугольники?
  • 44.1. Докажите, что точка М является центроидом треугольника АВС тогда и только тогда, когда выполняется равенство МА + МВ + МС = 0.
  • 44.2. Докажите, что точка М является центроидом тетраэдра ABCD тогда и только тогда, когда выполняется равенство MA + MB + MC + MD + MD = 0.
  • 45.1. Докажите, что высоты треугольника АВС (или их продолжения) пересекаются в одной точке Я, причем ОН = ОА+ОВ + ОС, где О — центр окружности, описанной около треугольника.
  • 45.2. Докажите, что высоты тетраэдра ABCD (или их продолжения) пересекаются в одной точке Я тогда и только тогда, когда противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны.
  • 46.1. Даны длины а, b двух сторон треугольника. Найдите максимальное значение площади треугольника.
  • 46.2. Даны длины а, Ь, с трех ребер тетраэдра, проведенных из одной вершины. Найдите максимальное значение объема тетраэдра.
  • 47.1. Даны две параллельные прямые: на одной из них произвольно взят отрезок АВ, а на другой — точка С. Докажите, что площадь треугольника АВС не зависит от выбора точки С.
  • 47.2. Даны три параллельные прямые: на одной из них произвольно выбран отрезок АВ, на двух других — точки С и D. Докажите, что объем тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и D.
  • 48.1. Докажите, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.
  • 48.2. Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
  • 49.1. Верно ли, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными прямыми, равны?
  • 49.2. Верно ли, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны?
  • 50.1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны и всегда являются острыми.
  • 50.2. Докажите, что грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же острым углом.
  • 51.1. Каждый катет прямоугольного треугольника равен Ь. Найдите площадь этого треугольника.
  • 51.2. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно Ь. Найдите объем пирамиды.
  • 52.1. Чему равна площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна а?
  • 52.2. Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?
  • 53.1. По стороне а равностороннего треугольника найдите его площадь.
  • 53.2. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.
  • 54.1. Найдите площадь трапеции с основаниями а, b и высотой h.
  • 54.2. Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований Qa и Q2 (Qj > Q2) и высотой h.
  • 55.1. Даны два равнобедренных треугольника, каждая сторона одного треугольника в два раза больше соответствующей стороны другого треугольника. Будет ли площадь первого треугольника больше площади второго в два раза?
  • 55.2. Даны два конуса. Радиус основания одного конуса в два раза больше радиуса основания другого конуса, образующие конусов находятся в таком же соотношении. Будет ли объем одного конуса в два раза больше объема другого?
  • 56.1. Из куска фанеры квадратной формы со стороной 1 м вырезали два одинаковых круга наибольшего диаметра. Что больше: площадь этих двух кругов или площадь оставшейся части?
  • 56.2. В куб с ребром 1 м, наполненный водой, поместили два одинаковых металлических шара наибольшего объема. Что больше: объем этих шаров или объем оставшейся в кубе воды?
  • 57.1. Верно ли, что площади двух произвольных квадратов относятся как квадраты их диагоналей?
  • 57.2. Верно ли, что объемы двух произвольных кубов относятся как кубы их диагоналей?
  • 58.1. Каким должен быть треугольник, чтобы центр описанной около него окружности не лежал во внутренней области этого треугольника?
  • 58.2. Каким должен быть конус, чтобы центр описанной около него сферы не находился во внутренней области этого конуса?
  • 59.1. Докажите, что если точка лежит внутри окружности, то произведение длин отрезков проходящих через нее хорд постоянно.
  • 59.2. Через точку М, лежащую внутри сферы, проведены три произвольные прямые, которые пересекают данную сферу соответственно в точках А и Аь В и В]; С и Cv Докажите, что AM ? МАг = ВМ ? МВ, = = СМ ? МСг.
  • 60.1. Стороны прямого угла являются касательными к окружности, радиус которой равен г. Найдите расстояние от вершины угла до окружности.
  • 60.2. В правильную треугольную пирамиду SABC вписана сфера радиусом R. Отрезок QS, соединяющий центр сферы Q с вершиной пирамиды S, пересекает окружность в точке К. Найдите SK, если каждый плоский угол при вершине пирамиды прямой.
  • 61.1. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы.
  • 61.2. Докажите, что если боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°, то центр сферы, описанной около этой пирамиды, лежит на пересечении диагоналей основания.
  • 62.1. Докажите, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник.
  • 62.2. Докажите, что биссекторные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке, являющейся центром сферы, вписанной в тетраэдр.
  • 63.1. Докажите, что высота равнобедренного треугольника проходит через середину основания.
  • 63.2. Докажите, что высота равнобочного тетраэдра проходит через центроид основания.
  • 64.1. Докажите, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон треугольника.
  • 64.2. Докажите, что биссекторная плоскость двугранного угла при ребре тетраэдра делит противоположное ребро в отношении, равном отношению площадей граней, образующих этот угол.
  • 65.1. Верно ли, что в равностороннем треугольнике высоты точкой пересечения делятся в отношении 2 :1, считая от соответствующей вершины треугольника?
  • 65.2. Верно ли, что в треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от соответствующей вершины треугольника?
  • 65.3. Верно ли, что в правильном тетраэдре высоты точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины тетраэдра?
  • 65.4. Верно ли, что в правильном тетраэдре высоты точкой пересечения делятся в отношении 3 : 1, считая от соответствующей вершины тетраэдра?
  • 66.1. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на оси симметрии этого треугольника.
  • 66.2. Верно ли, что центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на оси симметрии этой пирамиды?
  • 67.1. Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте этого треугольника, проведенной к его основанию.
  • 67.2. Верно ли, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на ее высоте?
  • 68.1. Выразите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, через его сторону.
  • 68.2. Выразите радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр, через ребро этого тетраэдра.
  • 69.1. Выразите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, через его высоты.
  • 69.2. Выразите радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр, через высоты этого тетраэдра.
  • 70.1. Стороны треугольника АВС равны а, Ъ, с. Докажите, что

  • 70.2. Выразите длину медианы MD тетраэдра ABCD через длины его ребер.
  • 71.1. Даны равносторонний треугольник, квадрат, круг. Периметр каждой фигуры равен а. Найдите их площади. На основании полученных данных продолжите следующие предложения:

из рассмотренных плоскостных фигур наименьшую площадь имеет...

из рассмотренных плоскостных фигур наибольшую площадь имеет...

если треугольник, квадрат и круг имеют одинаковую площадь, то наименьший периметр имеет...

если треугольник, квадрат и круг имеют одинаковую площадь, то наибольший периметр имеет...

из всех плоскостных фигур, имеющих одинаковую площадь, наименьший периметр имеет...

  • 71.2. Даны правильный тетраэдр, куб и шар. Данные фигуры имеют одинаковые объемы, равные Ь. Найдите площади поверхностей данных тел. Сделайте выводы, аналогичные выводам предыдущей задачи.
  • 72.1. На плоскости даны четыре точки. Сколько различных прямых можно провести через эти точки?
  • 72.2. В пространстве заданы четыре точки. Сколько различных плоскостей определяют эти точки?
  • 73.1. К окружности проведена касательная. Существуют ли касательные, отличные от данной касательной и при этом: а) перпендикулярные ей; б) параллельные данной касательной?
  • 73.2. Шар и плоскость имеют только одну общую точку — точку касания. Существуют ли другие касательные плоскости к шару, отличные от данной и при этом: а) перпендикулярные ей; б) параллельные данной плоскости?
  • 74.1. Сколько можно провести общих касательных к двум окружностям, если эти окружности: а) расположены одна вне другой; б) касаются внешним образом; в) пересекаются в двух точках; г) касаются внутренним образом; д) расположены одна внутри другой; е) совпадают? Выразите аналитически указанные расположения окружностей.
  • 74.2. Сколько можно провести общих касательных плоскостей к двум сферам, если эти сферы : а) расположены одна вне другой; б) касаются внешним образом; в) пересекаются по окружности; г) касаются внутренним образом; д) расположены одна внутри другой; е) совпадают? Выразите аналитически указанные расположения сфер.
  • 75.1. Верно ли, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов?
  • 75.2. Верно ли, что если три грани тетраэдра — прямоугольные треугольники, то Sj2 +Sf +Sf =S|, где Sj, S2, S3 — площади граней, составляющих прямой угол; S4 — площадь четвертой грани, лежащей против прямого трехгранного угла?

76.1. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике ABC h — длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, то

76.2. Докажите, что если в тетраэдре ABCD h — длина высоты, проведенной из вершины прямого трехгранного угла, и а,Ь,с длины взаимно

перпендикулярных ребер, то:

  • 77.1. Можно ли в квадрате сделать разрез такой длины, чтобы сквозь него прошел другой квадрат точно таких же размеров, как и первый?
  • 77.2. Возможно ли в кубе сделать отверстие, через которое может пройти другой куб таких же размеров, как и первый?
  • 78.1. Верно ли, что прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр этой окружности?
  • 78.2. Вершина трехгранного угла, принадлежит сфере. Верно ли, что если плоские углы этого угла прямые, то точки пересечения его ребер со сферой принадлежат окружности, центр которой совпадает с центром сферы?
  • 79.1. Верно ли, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке?
  • 79.2. Верно ли, что высоты тетраэдра или их продолжения пересекаются в одной точке?
  • 80.1. Верно ли, что треугольник является правильным, если все его высоты равны друг другу?
  • 80.2. Верно ли, что тетраэдр является правильным, если все его высоты равны друг другу?
  • 81.1. Какое из сечений, проходящих через две образующие цилиндра, имеет наибольшую площадь?
  • 81.2. Какое из сечений, проходящих через две образующие конуса, имеет наибольшую площадь?
  • 82.1. Известно, что два равносоставленных многоугольника равновелики, т.е. имеют одинаковую площадь. Верно ли обратное утверждение: два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставлены?
  • 82.2. Известно, что два равносоставленных многогранника равновелики, т.е. имеют одинаковый объем. Верно ли обратное утверждение: два многогранника, имеющих равные объемы, равносоставлены?
  • 83. Можно ли установить аналогию:
  • 1) между прямоугольным параллелепипедом и прямоугольником;
  • 2) между формулой длины диагонали прямоугольного параллелепипеда (d[1] = а[1] + Ь[1] + с[1], где d — его диагональ; а, Ь, с — его измерения) и формулой длины диагонали прямоугольника (d[1] = а[1] + Ь[1], где d — его диагональ; а,Ъ — длина и ширина прямоугольника), если высота прямоугольного параллелепипеда стремится к нулю?
  • 84. Можно ли установить аналогию:
  • 1) между четырехугольником и треугольником;
  • 2) междуформулой Герона площади четырехугольника (S-
  • 89. Пусть длина одного из оснований трапеции стремится к длине другого основания. Можно ли установить аналогию между:
  • 1) трапецией и параллелограммом;

2) площадью трапеции ( , где а и Ъ — основания трапеции; h — ее высота) и площадью параллелограмма (S = ah , где а и h — соответственно основание и высота параллелограмма)?

  • 90. Пусть радиус одного из оснований усеченного конуса стремится к нулю. Можно ли установить аналогию между:
  • 1) усеченным конусом и конусом;

2) объемом усеченного конуса ( ), где г: и г2

радиусы оснований усеченного конуса; h — его высота) и объемом конуса ( , где г и h — соответственно радиус и высота конуса);

3)площадью полной поверхности усеченного конуса (

, где гх и г2 — радиусы оснований усеченного конуса; / — его образующая) и площадью полной поверхности конуса (S = лг(г +1), где г и I — соответственно радиус и образующая конуса)?

Заметим, что на первоначальном этапе обучения учащихся сознательному использованию метода аналогии при решении стереометрических задач целесообразно предлагать две взаимосвязанные по содержанию задачи, причем условие каждой из них формируется одновременно. Но, как показывает практика, для развития творческого мышления учащихся, для формирования у них исследовательских умений, в частности умения строить гипотезы и выдвигать предположения, значительно полезнее предлагать школьникам самостоятельно формулировать, а затем решать для плоскостных фактов их пространственные аналоги. Причем должны быть задачи как на прямое действие — переход от плоскости к пространству, так и на обратное действие — переход от пространства к плоскости.

  • [1] , где р — полупериметр; a, b, с, d — стороны четырехугольника) и формулой Герона площади треугольникаС, где р — полупериметр; а,Ь,с — стороны тре угольника), если сторона четырехугольника стремится к нулю? 85. Можно ли установить аналогию: 1) между правильным n-угольником и кругом; 2) между формулами площади правильного п-угольника (S- , где R — радиус окружности, описанной около п-угольника) и площади круга (S = nR1, где R — радиус круга), если п стремится к бесконечности? 86. Можно ли установить аналогию: 1) между правильной треугольной призмой, вписанной в сферу,и правильным треугольником, вписанным в окружность; 2) между радиусом сферы, описанной около правильной треугольной призмы (, где а — сторона основания призмы; h — ее высота), и радиусом окружности, описанной около правильного треугольника (, где а — сторона правильного треугольника), если высота правильной треугольной призмы стремится к нулю? 87. Существует ли аналогия: 1) между эллипсом и окружностью; 2) уравнением эллипсаи уравнением окружности , если эксцентриситет эллипса стремится к единице? 88. Пусть одно из оснований трапеции стремится к нулю. Можно лиустановить аналогию между: 1) трапецией и треугольником; 2) площадью трапеции (, где а и b — основания трапеции; h — ее высота) и площадью треугольника (, где а и h — соответственно основание и высота треугольника)?
  • [2] , где р — полупериметр; a, b, с, d — стороны четырехугольника) и формулой Герона площади треугольникаС, где р — полупериметр; а,Ь,с — стороны тре угольника), если сторона четырехугольника стремится к нулю? 85. Можно ли установить аналогию: 1) между правильным n-угольником и кругом; 2) между формулами площади правильного п-угольника (S- , где R — радиус окружности, описанной около п-угольника) и площади круга (S = nR1, где R — радиус круга), если п стремится к бесконечности? 86. Можно ли установить аналогию: 1) между правильной треугольной призмой, вписанной в сферу,и правильным треугольником, вписанным в окружность; 2) между радиусом сферы, описанной около правильной треугольной призмы (, где а — сторона основания призмы; h — ее высота), и радиусом окружности, описанной около правильного треугольника (, где а — сторона правильного треугольника), если высота правильной треугольной призмы стремится к нулю? 87. Существует ли аналогия: 1) между эллипсом и окружностью; 2) уравнением эллипсаи уравнением окружности , если эксцентриситет эллипса стремится к единице? 88. Пусть одно из оснований трапеции стремится к нулю. Можно лиустановить аналогию между: 1) трапецией и треугольником; 2) площадью трапеции (, где а и b — основания трапеции; h — ее высота) и площадью треугольника (, где а и h — соответственно основание и высота треугольника)?
  • [3] , где р — полупериметр; a, b, с, d — стороны четырехугольника) и формулой Герона площади треугольникаС, где р — полупериметр; а,Ь,с — стороны тре угольника), если сторона четырехугольника стремится к нулю? 85. Можно ли установить аналогию: 1) между правильным n-угольником и кругом; 2) между формулами площади правильного п-угольника (S- , где R — радиус окружности, описанной около п-угольника) и площади круга (S = nR1, где R — радиус круга), если п стремится к бесконечности? 86. Можно ли установить аналогию: 1) между правильной треугольной призмой, вписанной в сферу,и правильным треугольником, вписанным в окружность; 2) между радиусом сферы, описанной около правильной треугольной призмы (, где а — сторона основания призмы; h — ее высота), и радиусом окружности, описанной около правильного треугольника (, где а — сторона правильного треугольника), если высота правильной треугольной призмы стремится к нулю? 87. Существует ли аналогия: 1) между эллипсом и окружностью; 2) уравнением эллипсаи уравнением окружности , если эксцентриситет эллипса стремится к единице? 88. Пусть одно из оснований трапеции стремится к нулю. Можно лиустановить аналогию между: 1) трапецией и треугольником; 2) площадью трапеции (, где а и b — основания трапеции; h — ее высота) и площадью треугольника (, где а и h — соответственно основание и высота треугольника)?
  • [4] , где р — полупериметр; a, b, с, d — стороны четырехугольника) и формулой Герона площади треугольникаС, где р — полупериметр; а,Ь,с — стороны тре угольника), если сторона четырехугольника стремится к нулю? 85. Можно ли установить аналогию: 1) между правильным n-угольником и кругом; 2) между формулами площади правильного п-угольника (S- , где R — радиус окружности, описанной около п-угольника) и площади круга (S = nR1, где R — радиус круга), если п стремится к бесконечности? 86. Можно ли установить аналогию: 1) между правильной треугольной призмой, вписанной в сферу,и правильным треугольником, вписанным в окружность; 2) между радиусом сферы, описанной около правильной треугольной призмы (, где а — сторона основания призмы; h — ее высота), и радиусом окружности, описанной около правильного треугольника (, где а — сторона правильного треугольника), если высота правильной треугольной призмы стремится к нулю? 87. Существует ли аналогия: 1) между эллипсом и окружностью; 2) уравнением эллипсаи уравнением окружности , если эксцентриситет эллипса стремится к единице? 88. Пусть одно из оснований трапеции стремится к нулю. Можно лиустановить аналогию между: 1) трапецией и треугольником; 2) площадью трапеции (, где а и b — основания трапеции; h — ее высота) и площадью треугольника (, где а и h — соответственно основание и высота треугольника)?
  • [5] , где р — полупериметр; a, b, с, d — стороны четырехугольника) и формулой Герона площади треугольникаС, где р — полупериметр; а,Ь,с — стороны тре угольника), если сторона четырехугольника стремится к нулю? 85. Можно ли установить аналогию: 1) между правильным n-угольником и кругом; 2) между формулами площади правильного п-угольника (S- , где R — радиус окружности, описанной около п-угольника) и площади круга (S = nR1, где R — радиус круга), если п стремится к бесконечности? 86. Можно ли установить аналогию: 1) между правильной треугольной призмой, вписанной в сферу,и правильным треугольником, вписанным в окружность; 2) между радиусом сферы, описанной около правильной треугольной призмы (, где а — сторона основания призмы; h — ее высота), и радиусом окружности, описанной около правильного треугольника (, где а — сторона правильного треугольника), если высота правильной треугольной призмы стремится к нулю? 87. Существует ли аналогия: 1) между эллипсом и окружностью; 2) уравнением эллипсаи уравнением окружности , если эксцентриситет эллипса стремится к единице? 88. Пусть одно из оснований трапеции стремится к нулю. Можно лиустановить аналогию между: 1) трапецией и треугольником; 2) площадью трапеции (, где а и b — основания трапеции; h — ее высота) и площадью треугольника (, где а и h — соответственно основание и высота треугольника)?
  • [6] , где р — полупериметр; a, b, с, d — стороны четырехугольника) и формулой Герона площади треугольникаС, где р — полупериметр; а,Ь,с — стороны тре угольника), если сторона четырехугольника стремится к нулю? 85. Можно ли установить аналогию: 1) между правильным n-угольником и кругом; 2) между формулами площади правильного п-угольника (S- , где R — радиус окружности, описанной около п-угольника) и площади круга (S = nR1, где R — радиус круга), если п стремится к бесконечности? 86. Можно ли установить аналогию: 1) между правильной треугольной призмой, вписанной в сферу,и правильным треугольником, вписанным в окружность; 2) между радиусом сферы, описанной около правильной треугольной призмы (, где а — сторона основания призмы; h — ее высота), и радиусом окружности, описанной около правильного треугольника (, где а — сторона правильного треугольника), если высота правильной треугольной призмы стремится к нулю? 87. Существует ли аналогия: 1) между эллипсом и окружностью; 2) уравнением эллипсаи уравнением окружности , если эксцентриситет эллипса стремится к единице? 88. Пусть одно из оснований трапеции стремится к нулю. Можно лиустановить аналогию между: 1) трапецией и треугольником; 2) площадью трапеции (, где а и b — основания трапеции; h — ее высота) и площадью треугольника (, где а и h — соответственно основание и высота треугольника)?
  • [7] , где р — полупериметр; a, b, с, d — стороны четырехугольника) и формулой Герона площади треугольникаС, где р — полупериметр; а,Ь,с — стороны тре угольника), если сторона четырехугольника стремится к нулю? 85. Можно ли установить аналогию: 1) между правильным n-угольником и кругом; 2) между формулами площади правильного п-угольника (S- , где R — радиус окружности, описанной около п-угольника) и площади круга (S = nR1, где R — радиус круга), если п стремится к бесконечности? 86. Можно ли установить аналогию: 1) между правильной треугольной призмой, вписанной в сферу,и правильным треугольником, вписанным в окружность; 2) между радиусом сферы, описанной около правильной треугольной призмы (, где а — сторона основания призмы; h — ее высота), и радиусом окружности, описанной около правильного треугольника (, где а — сторона правильного треугольника), если высота правильной треугольной призмы стремится к нулю? 87. Существует ли аналогия: 1) между эллипсом и окружностью; 2) уравнением эллипсаи уравнением окружности , если эксцентриситет эллипса стремится к единице? 88. Пусть одно из оснований трапеции стремится к нулю. Можно лиустановить аналогию между: 1) трапецией и треугольником; 2) площадью трапеции (, где а и b — основания трапеции; h — ее высота) и площадью треугольника (, где а и h — соответственно основание и высота треугольника)?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >