Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Информатика arrow КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
Посмотреть оригинал

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТРЕХМЕРНОЙ ГРАФИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПРОЕКТИРОВАНИЕ. ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ

В этой главе подробно разберем и обобщим ряд понятий из двухмерного случая для работы в пространстве (3D). Как и ранее, базовыми понятиями будут векторы и матрицы, но уже большего размера.

В пространстве, как и на плоскости, мы можем также ввести систему координат, только у нас будет уже три координатных оси (не лежащих в одной плоскости, обычно перпендикулярных друг другу) и положение каждой точки будет описываться тройкой чисел (х, у, z).

Векторы и матрицы

Трехмерный вектор — это упорядоченная тройка чисел, записанная в виде строки или столбца (как и в двухмерном случае, далее будем рассматривать только вектор-столбцы). Так же, как и на плоскости, введем для векторов операции сложения и умножения на число как поэлементные операции над их компонентами:

Можно убедиться, что все свойства этих операций, которые были в двухмерном случае, полностью сохраняются.

Аналогично двухмерному случаю, мы можем ввести и операцию скалярного произведения двух векторов, определив ее следующим образом:

Компоненты вектора w - [и, г>] являются определителями следующих матриц:

Опираясь на скалярное произведение, введем понятия длины (нормы) вектора и угла между двумя векторами полностью аналогично двухмерному случаю. Соответствующие свойства длины и скалярного произведения будут выполнены и для трехмерных векторов. Однако в трехмерном случае кроме скалярного произведения векторов мы можем ввести еще и операцию векторного произведения двух векторов и и v, обозначаемую как [и, v] или uxv, сопоставляющую каждой паре трехмерных векторов новый вектор. Данную операцию определим через координаты векторов следующим образом:

Векторное произведение удовлетворяет следующим свойствам:

Из этих свойств следует, что векторное произведение двух векторов представляет собой вектор, перпендикулярный обоим перемножаемым векторам, а длина его равна произведению длин векторов на синус угла между ними. Кроме того, векторы u,v и [и, о] образуют так называемую правую тройку — они расположены в пространстве, как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 5.1).

Аналогичным образом можно обобщить для трехмерного случая понятия преобразования в пространстве и линейные преобразования. В трехмерном пространстве линейным преобразованиям будут соответствовать матрицы размера 3x3, состоящие из трех строк и трех столбцов:

Правая и левая тройки векторов

Рис. 5.1. Правая и левая тройки векторов

Обобщая для этих матриц операции поэлементного сложения и умножения на число (аналогично матрицам 2x2), мы приходим к линейному пространству, обозначаемому Rix).

Также можно легко обобщить операции транспонирования матрицы и перемножения матриц между собой, используя следующие формулы:

Также можно обобщить и операцию умножения матрицы на вектор, используя формулу

Аналогично двухмерному случаю, можно ввести понятие детерминанта (определителя) для матрицы 3x3. Если детерминант не равен нулю, то для данной матрицы существует обратная матрица:

Данный определитель можно также выразить, используя так называемое разложение определителя по строке или столбцу. Для разложения по первой строке запишем:

Основные свойства определителя матрицы и обратной матрицы полностью сохраняются и для трехмерного случая, поэтому приводить их здесь не будем.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы