ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Для уравнений газовой динамики разработано большое число достаточно универсальных и эффективных численных методов [13—22], в том числе основанных на использовании характеристических свойств этих уравнений для сверхзвуковых стационарных и нестационарных задач.

Несмотря на то, что характеристические свойства общих уравнений газовой динамики изучены достаточно подробно [23-25], а для расчета двумерных сверхзвуковых течений метод характеристик стал классическим [26, 27], практическое внедрение пространственных схем началось лишь в 1960-е годы. Показательно, что впервые наиболее полное численное решение задачи сверхзвукового обтекания острых и притупленных конусов под углом атаки [28] было получено не методом характеристик, а методом сеток, предложенным в работе [29].

Позднее освоение пространственных методов характеристик объясняется не столько возможностями ЭВМ, сколько тем, что предлагавшиеся методы были неоправданно усложнены, а для расчета граничных искомых поверхностней в ряде случаев предлагались неверные схемы. Сыграло свою роль и многообразие возможных численных схем, основанных на характеристических свойствах уравнений газодинамики. Характеристические многообразия в пространственном случае гораздо богаче, чем в двумерном, и та или иная их интерпретация порождает различные численные схемы. Рассмотрим некоторые из них.

Схемы, предложенные в работах [30-32], вероятно, представляют в основном историческй интерес. Наиболее интересны работы [24, 25] с точки зрения исследования общих уравнений газовой динамики. Разработанная в них тетраэдральная схема практически испробована в работе [33], но, к сожалению, в ней использовалась неверная схема расчета точек ударной волны, не позволявшая рассчитывать скачки уплотнения, отличающиеся от осесимметричных. Тетраэдральная схема в работе [34] является неустойчивой, на что указано в [35].

Физический смысл метода характеристик полнее учитывался при выборе численных схем в работах [37, 36], посвященных главным образом расчету неустановившихся двумерных течений, и в частности роль бихарактеристик, вдоль семейства которых и распространяется влияние из заданной точки. Однако в этих методах сохранены производные в нехарак- теристцческих направлениях и соответственно численное дифференцирование по этим направлениям, в чем, вообще говоря, нет необходимости.

Для безвихревых (потенциальных) сверхзвуковых течений газа в соплах и каналах пространственный метод характеристик развит в [38] и ряде других работ этих авторов.

Другую группу методов составляют полухарактеристические методы [39, 40], по терминологии Зауэра, — Near characteristic [41]. Основная идея этих методов — разностная аппроксимация по одной из независимых переменных и сведение, таким образом, пространственной задачи к решению двумерной системы уравнений.

Каждая из работ [25—41] посвящена конкретному подходу к выводу характеристических уравнений и их интерпретации для построения вполне определенной разностной схемы. Детальный обзор этих и других пространственных методов характеристик дан в работе [42]. В отличие от такого подхода в разд. 1 данной главы изучаются с единой точки зрения характеристические свойства уравнений газовой динамики, которые лежат в основе тех или иных численных методов, а также вопросы выбора последних.

Численное решение большинства задач сверхзвуковых установившихся течений газа связано с необходимостью нахождения заранее неизвестных поверхностей типа ударных волн, свободных поверхностей и т.п. Для расчета таких поверхностей в пространственных методах характеристик было предложено использовать два условия совместности [24, 34, 33, 40]. В работе [33] сделана попытка применить подобную схему, в работе [43] отмечалось, что такая схема при расчете обтекания тел под углом атаки приводит к неверным результатам вне области, ограниченной телом и характеристической поверхностью, исходящей из внешней границы области задания начальных данных, и предложен новый способ с использованием одного характеристического соотношения.

В разд. 2, следуя работе [44], доказано, что в разностных схемах для нахождения и расчета точек искомых граничных поверхностей (ударная волна, свободная поверхность) необходимо и достаточно использовать одну комбинацию уравнений газовой динамики (например, условие совместности вдоль некоторой бихарактеристики).

На основе анализа локальных характеристических свойств типа изложенного в разд. 1, в работе [43] была предложена бихарактеристическая схема обратного метода характеристик. В разд. 3 приведена эта схема. С ее использованием были рассчитаны сверхзвуковые обтекания осесимметричных тел под углом атаки, а также тела чисто пространственной формы [45—48]. В разд. 4, следуя работе [46], изложен прямой метод характеристик для расчета сверхзвукового обтекания тел.

Подробное описание численных методов [43, 46] в разд. 3 и 4 не означает, что они являются наиболее эффективными или оптимальными среди других схем пространственного метода характеристик. Однако именно эти методы послужили естественной основой для создания сеточно-характеристических методов, ставших эффективным инструментом для исследования сложных многомерных задач, моделируемых уравнениями гиперболического типа и получивших широкое распространение.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >