Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ
Посмотреть оригинал

Философские проблемы обоснования математики.

Вплоть до XIX в. математика оставалась эталоном строгости, доказательности и достоверности научного знания.

Сомнения в достоверности оснований математики возникли в первую очередь в результате разработки неевклидовой геометрии в течение XVIII-XIX вв. Неевклидова геометрия поставила под сомнение абсолютность математических аксиом, идею тождества математической структуры и структуры мира, и показала неясность и необоснованность математики. Важно подчеркнуть, что неевклидовы геометрии (Гаусса, Римана, Лобачевского) не были просто интеллектуальной игрой, они позволяли описывать физическое пространство. Но при этом было очевидно, что они противоречат друг другу и что невозможно установить, какая из этих геометрий истинна.

Ударом для математики стало и обнаружение противоречий в канторовской теории множеств. Противоречивое исчисление, как известно, позволяет доказывать как теорему любое положение. Если математика противоречива, то она бессмысленна.

Проблемы, возникшие в математике, поставили под сомнение достоверность всей науки. Если абсолютных истин нет даже в математике, то есть ли они вообще? И математики в конце XIX — начале XX в. прилагают отчаянные усилия спасти науку. Они пытаются найти некие абсолютно достоверные основания математики, доказать их полноту и непротиворечивость.

Традиционно выделяют следующие направления обоснования математики: логицизм (Г. Фреге, Б. Рассел); интуиционизм (Э. Брауэр, А. Гейтинг); формализм (Д. Гилберт); теоретико-множественный (Э. Цермело, А. Френкель).

Логицисты занимали позицию реализма в понимании онтологического статуса математических объектов. Математика должна быть полностью выведена из логики. Математические теоремы и доказательства позволяют нам выявить то, что в неявном виде содержится в принципах логики. Законы логики логицисты считали априорно истинными. Это давало им основания верить в возможность построения абсолютно истинной математики.

Логицизм вызвал резкую критику в среде математиков, т. к. его сторонники использовали для обоснования математики ряд аксиом (аксиома сводимости, аксиома бесконечности, аксиома выбора), истинность которых вызывала серьезные сомнения. С философской точки зрения, логицизм тоже не выдерживал критики: если вся математика следует из законов мышления, то каким образом с помощью дедуктивного вывода можно получить описание структуры всего бесконечно разнообразного мира?

Интуиционисты были концептуалистами в понимании природы математических понятий. Основатель интуиционизма Брауэр считал, что математика вырастает из природы человеческого разума и вне него не существует. Как продукт человеческого разума она автономна — не зависит ни от опыта, ни от языка, и она должна опираться на интуитивно очевидные понятия. Такими понятиями являются целые числа, сложение, умножение и математическая индукция. Математическое мышление, опираясь на интуитивно очевидные понятия, конструирует истинное описание мира. Логика и опыт нужны тем, кто лишен интуиции. Логика — это определенная форма языка, а язык, но сути, неспособен без искажений представлять мысль. Не математика должна быть основана на логике, а наоборот, логика - на математике. Интуиция (а не логика или опыт) является критерием приемлемости математических положений.

Критика интуиционизма проистекала из того простого факта, что его представителям не удалось сколько-нибудь серьезно продвинуться в построении новой математики и особенно математики, пригодной для практического применения. К тому же они отрицали ряд классических теорем и даже разделов математики, которые не могли обосновать своими методами, что было совершенно неприемлемо для математиков.

Формализм стал выражением номинализма в математике. Математика невыводима из логики, она является автономной научной дисциплиной. Математику следует рассматривать как формальную дисциплину, занимающуюся преобразованием символов безотносительно к их значению. Символы вводятся по соглашению и лишены всякого постороннего, в том числе и интуитивного смысла. Значение символа определяется правилами его использования в системе исчисления. Очевидно, что количество построенных таким образом формальных систем неограниченно, каждая из них имеет свой набор аксиом, свои правила дедуктивного вывода и свои теоремы. Формализм критиковали за то, что он превратил математику в пустую игру символами, лишив математические понятия интуитивно очевидного содержания и реальной связи с материальным миром.

Представители теоретико-множественного направления, так же, как логицисты, были реалистами в решении проблемы онтологического статуса математических объектов. Они видели свою главную задачу в избавлении теории множеств, которую они рассматривали как основание чистой математики, от противоречий. Им удалось аксиоматизировать теорию множеств таким образом, что в ней перестали возникать противоречия. Представителей теоретико-множественного направления критиковали за неясность логических оснований, на которых построена их математика, за произвольность, искусственность и интуитивную неочевидность их аксиом.

Возникновение описанных выше направлений привело к тому, что математика к 30-м гг. XX в. утратила внутреннее единство: разные направления придерживались разных стандартов правильности доказательства теорем. К тому же вышеперечисленные направления, в свою очередь, распались на различные течения, что породило еще большую путаницу в понимании оснований математики.

Ситуация осложнялась и тем, что не были решены проблемы непротиворечивости и полноты математики. Хотя известные парадоксы и получали решения (по-разному в разных направлениях математики), но не было гарантии, что не возникнут новые. Проблема полноты аксиоматических систем сводится к тому, что в рамках принятой системы аксиом должна доказываться истинность или ложность всех осмысленных высказываний для определенной области математики.

В 1931 г. К. Гёдель доказал, что, во-первых, непротиворечивость аксиоматической системы не может быть установлена средствами самой этой системы на основе математических принципов, принятых различными школами в основаниях математики: логицистами, формалистами и представителями теоретико-множественного направления; во-вторых, он доказал теорему о неполноте аксиом, согласно которой, если система аксиом непротиворечива, то она неполна[1].

По общему признанию, эти открытия доказывали невозможность полной аксиоматизации научного знания. Любая система аксиом содержит утверждения, истинность которых устанавливается нестрогими методами.

Таким образом, решение проблемы обоснования привело математику к осознанию того, что она не может предложить науке некие абсолютно достоверные (доказанные в некотором абсолютном, строгом смысле слова) основания. Научное знание невозможно полностью формализовать, по крайней мерс, на основе известной нам математики.

  • [1] См. анализ проблемы обоснования математики, например, в работе: Клайн М.Математика : Утрата определенности. М. : Мир, 1984. 1 19
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы