Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Информатика arrow ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
Посмотреть оригинал

Точность и количество реализаций модели при определении средних значений параметров

Найдем функциональную связь точности е и достоверности а с количеством реализаций модели, когда в качестве показателей эффективности выступают математическое ожидание и дисперсия некоторой случайной величины (времени, расстояния и т.п.).

Определение оценки математического ожидания

Найдем искомую связь для случая, когда целью эксперимента является определение оценки математического ожидания некоторой случайной величины.

В N прогонах модели получены независимые значения интересующего нас показателя эффективности:

В качестве оценки математического ожидания возьмем выборочное среднее (среднее арифметическое):

В последующей главе мы покажем, что оценка такого вида является наилучшей.

Согласно центральной предельной теореме если значения а, независимы и имеют конечные дисперсии одного порядка, то при большом числе слагаемых N случайная величина а имеет практически нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией соответственно

где о% —дисперсия искомой случайной величины а.

Следовательно, справедливо равенство

2 ~—

где Ф*(га) = ,— f е 2 dz — интеграл вероятности.

v2 71 о

В некоторых изданиях под интегралом вероятности понимают несколько иное выражение, поэтому целесообразно пользоваться интегралом Лапласа (1749—1827) Ф(г„), который связан с интегралом вероятности так: Ф*(1а) = 2Ф(га). Из приведенного выражения следует:

Сравнивая это выражение с выражением (4.1), имеем

Интеграл Лапласа табулирован, следовательно, задаваясь значением достоверности а, можно определить аргумент t„.

Итак, искомая связь между точностью е, достоверностью а и числом реализаций модели получена:

Из выражений (4.2) следует, что:

  • • увеличение точности на один порядок (уменьшение ошибки на один порядок) потребует увеличения числа реализаций модели на два порядка;
  • • число необходимых реализаций модели N не зависит от величины искомого параметра а, а зависит от дисперсии с^.

Достоверность результата а. указана значением аргумента функции Лапласа ta. Связь значения ta с достоверностью а находится из таблицы значений функции (интеграла) Лапласа.

Наиболее употребительные соответствия ta и а приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Фрагмент таблицы функции (интеграла) Лапласа

a

0,80

0,85

0,90

0,95

0,99

0,995

0,999

ta

1,28

1,44

1,65

1,96

2,58

2,81

3,3

Чтобы пользоваться формулами (4.2), нужно знать дисперсию о%. Очень редки случаи, когда значение дисперсии известно до эксперимента, поэтому возможны два способа предварительного определения дисперсии.

Первый способ. Иногда заранее известен размах значений искомой случайной величины:

В предположении нормального распределения случайной величины а можно с использованием правила трех сигм получить приближенную оценку aa:

Второй способ. Надо воспользоваться оценкой дисперсии. Для этого необходимо выполнить предварительный прогон модели в количестве АТ = 1000 реализаций. С использованием полученного в результате этих прогонов ряда значений показателя a„ i = 1, ..., N, найдем оценку дисперсии:

Здесь а — среднеарифметическое значение по N* измерениям. И в этом случае формулы (4.2) имеют вид

Вычисленную дисперсию Si подставим в формулу для определения числа прогонов модели N. Если в результате расчета окажется, что выполняется неравенство N > N*, то моделирование должно быть продолжено до выполнения N реализаций. Если же N < N*, то моделирование заканчивается. Необходимая точность в оценки случайной величины а (искомого показателя эффективности) при заданной достоверности а достигнута.

Если в технических условиях задана относительная точность d =—,

а

то формулы (4.3) принимают вид

Значение а определяется на основании ЛГ = 1000 прогонов модели. Все дальнейшие расчеты аналогичны только что рассмотренным аналитическим выражениям.

Вышеприведенные рассуждения и выражения были справедливы в предположении нормального закона распределения случайной величины а. Если в этом есть сомнение, то для определения связи в, а и N можно воспользоваться неравенством П. Л. Чебышева (1821—1894)

С учетом направления знаков неравенств получим

Так же как и в предыдущих случаях, вместо неизвестной дисперсии о% следует использовать ее оценку Sf, вычисленную по данным N* прогонов модели.

Отметим еще один момент: обратим внимание на то, что в данном случае достоверность а участвует в формулах в явном виде.

Итак, в выражениях (4.3) мы вместо неизвестной дисперсии используем ее оценку S%. В этом случае вместо аргумента функции Лапласа ta надо использовать параметр распределения Стьюдента (1876—1937) значения которого зависят не только от уровня достоверности а, но и от числа степеней свободы к = N - 1. Здесь, как и прежде, N— число прогонов модели. Вообще-то, при N распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, но при малом числе прогонов модели t* заметно отличается от ta.

Для практических целей значения t* можно взять из табл. 4.4.

Таблица 4.4

Таблица значенийt*

к

а

0,8

0,9

0,95

0,99

0,999

10

1,37

1,81

2,23

3,17

4,6

Окончание табл. 4.4

к

а

0,8

0,9

0,95

0,99

0,999

20

1,33

1,73

2,1

2,85

3,73

30

1,31

1,7

2,04

2,75

3,65

40

1,3

1,68

2,02

2,7

3,55

60

1,3

1,67

2,0

2,67

3,41

120

1,29

1,66

1,98

2,62

3,37

Из табл. 4.4 очевидно, что при k = N - 1 > 120 значения t* и ta практически совпадают. Но при меньших значениях N следует пользоваться величиной t*.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы