Средняя гармоническая и средняя геометрическая

Кроме средней арифметической при расчете статистических показателей могут использоваться и другие виды средних. При этом следует учитывать, что в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная

Эта форма используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности при условии, что известна урожайность и валовый сбор (графы 1 и 2 табл. 5.5), но неизвестна посевная площадь.

Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры по нескольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам может быть определена только на основе следующего исходного соотношения:

Общий валовой сбор получим простым суммированием валового сбора по районам. Данные же о посевной площади

Таблица 5.5. Валовой сбор и урожайность сельскохозяйственной культуры У по районам области

Валовой сбор и урожайность сельскохозяйственной культуры У по районам области

отсутствуют, но их можно получить, разделив валовой сбор каждого района на урожайность. С учетом этого определим искомую среднюю, ц/га:

Таким образом, общая посевная площадь данной культуры в целом по области составляла 190 тыс. га, а средняя урожайность — 11,7 ц с одного гектара.

В этом случае расчет произведен по формуле средней гармонической взвешенной:

где да. = х/е

Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса го за ряд временных интервалов.

Средняя гармоническая невзвешенная

Эта форма средней, используемая значительно реже, чем средняя гармоническая взвешенная. Ее определяют по формуле

Для иллюстрации области применения средней гармонической невзвешенной воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, что в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин, второй — 15 мин. Каковы средние затраты времени на один заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на один заказ, т.е. (5 + 15)/2 = 10 мин. Проверим обоснованность такого подхода на примере 1 ч работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60/5), второй — 4 заказа (60/15), что в сумме составляет 16 заказов. Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:

Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени, мин, необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов:

Если теперь заменить индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится:

Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Т0; для единиц совокупности равны (в рассмотренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).

Следует отметить, что средняя гармоническая взвешенная, как и средняя арифметическая взвешенная, в расчетах используется значительно чаще аналогичных нензвешенных формул. Это объясняется тем, что на практике достаточно редко имеют место ситуации, когда веса осредняемых вариантов равны (одинаковое отработанное время, одинаковая численность работников в группах, одинаковый товарооборот торговых предприятий и т.п.).

Средняя геометрическая

Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая, которая может быть:

• невзвешенной:

• взвешенной:

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста, что будет рассмотрено в гл. 8.

Средняя квадратическая

В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая, которая может быть:

• невзвешенной:

• взвешенной:

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации, коэффициентов структурных сдвигов, индексов.

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го и более высоких порядков.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >