Критерии для исключения систематических погрешностей

Наличие переменной составляющей систематической погрешности (погрешности, изменяющейся по какому-либо закону) искажает оценки характеристик случайной погрешности.

Систематическая погрешность может быть выявлена средствами статистического анализа.

Постоянные систематические погрешности могут быть обнаружены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с помощью более точных методов и средств.

Существует много различных методов обнаружения систематических погрешностей в результатах измерения. Рассмотрим лишь некоторые из них.

Метод последовательных разностей (Критерий Аббе)

Способ используется для обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности. Для обнаружения такой погрешности определяют несмещенную оценку дисперсии Ддг) результатов измерения обычным способом по формуле

и способом вычисления суммы 0(х) квадратов последовательных (в порядке последовательности измерений) разностей - х,)

Если в процессе измерений происходило смешение центра группирования результатов наблюдений, то D(x) даст завышенную оценку дисперсии результатов наблюдения. Это объясняется тем, что на D(x) влияют вариации X. В то же время изменения центра группирования' мало влияют на последовательные разности (лгж - х)у и смещение почти не отражается на значении Q(x). Вследствие этого отношение

является критерием для обнаружения систематических смешений центра группирования (критерии Лббе).

Критическая область этого критерия определяется как

Если полученное значение критерия Аббе меньше Ац (при принятом уровне значимости ц и числе измерений п), то нулевая гипотеза постоянстве! центра группирования результатов измерений (X) отвергается, т. е. имеет место систематическая составляющая.

Критические значения критерия Аббе при различных значениях ц и п определяются по следующим аппроксимирующим уравнениям:

Пример.

Выполнено 16 измерений некоторой величины через равные промежутки. В результате обработки получены следующие значения D(x) ~ 1,66247- ~л (формула (6.20)) и Q(x) ~ 7,667145 10 5 (формула (6.21)).

Решение. Определим значение критерия Аббе по формуле (6.22)

Определим критические значения критерия Аббе по формулам (6.24) и (6.25):

Так как при принятых уровнях значимости (0,01; 0,05) фактическое значение критерия Аббе меньше расчетных, то можно сделать вывод о наличии систематической составляющей в погрешностях измерений.

Комбинаторные критерии

Эти критерии позволяют установить наличие систематической погрешности в ряду измерений только в зависимости от порядка появления результатов наблюдений.

Для этого все результаты наблюдений разбиваются на два вида: А - результаты с положительным отклонением от среднего значения; В - с отрицательным отклонением от среднего значения. Затем рассматривается ряд из п последовательных результатов наблюдений, состоящий из пх результатов А и я, результатов В (и, + п2 = п).

Каждый отрезок последовательности результатов наблюдений одного и того же вида называется серией.

За критерий случайности погрешности измерений может быть принято число серий в ряду наблюдений.

Для полученного п и заданной вероятности Р = 1 - существует интервал, накрывающий определенное число серий

Предположение о случайном характере распределения серий отвергается, т. е. предполагается наличие систематической погрешности, если полученное значение числа серий (табл. 6.1)

Пример.

Проверить гипотезу о наличии систематической составляющей в результатах измерений.

Решение. После определения среднего значения результатов измерения и их разбивки на два вида получен следующий результат: АААВААВВВААААА.

В приведенном ряде из 14 результатов имеется 5 серий длиной 3 - (А-М), 1 - (В), 2 - (АА), 3 - (ВВВ) и 5 - (ААААА). В данном примере л, = 9, п2 = 4, (9 + 4 ~ 13). Количество серий Я- 5. Так какр ~ Р(3 < 5 < 10), то систематическая составляющая в результатах измерений отсутствует.

Исключение систематической погрешности

Рассмотренные выше критерии позволяют сделать вывод о наличии или отсутствии систематической составляющей в результатах измерений. Для определения закономерности изменения систематической составляющей погрешности можно использовать метод наименьших квадратов.

Наиболее наглядным методом выявления систематической погрешности является графический метод. Суть метода сводится к следующему. На график в координатах К(результат измерения), ^(порядковый номер измерения) наносятся полученные результаты измерений. Для наглядности полученные точки соединяют прямыми линиями. По расположению точек на графике судят о наличии систематической погрешности. Если тенденция в изменении результатов наблюдается, то систематическая погрешность существует и ее следует исключить. В противном случае констатируют, что систематическая погрешность отсутствует (или несущественна).

На рис. 6.1 приведена графическая интерпретация результатов измерений. Проверка по критерию Аббе показала, что в результатах измерений имеется систематическая погрешность.

Расположение точек на графике подтверждает наличие систематической погрешности. Более того, можно утверждать, что систематическая погрешность увеличивается примерно по линейному закону.

Задача, таким образом, сводится к определению параметров этой зависимости. Естественно, что параметры зависимости должны быть определены таким образом, чтобы разность между фактическими значениями измерений и их расчетными значениями была минимальной. Для решения такого рода задач находит широкое применение метод наименьших квадратов (МНК).

Графическое представление результатов измерений

Рис. 6.1. Графическое представление результатов измерений

При использовании МНК параметры определяют из условия: сумма квадратов (55) отклонений фактических (у) значений от рассчитанных (у) по выбранной зависимости была бы минимальной, т. е.

Например, если систематическая погрешность изменяется по линейному закону, то можно записать

где а0, ах - неизвестные параметры линейной зависимости, подлежащие определению по результатам измерений. Подставляя (6.29) в (6.28), получим

Для определения минимума функции (6.30) найдем частные производные по неизвестным параметрам а0 и а{:

Система (6.31) после упрощения примет вид

Решая систему (6.32) относительно неизвестных а0 и я,, получим

Значение а0 определим из первого уравнения системы (6.32). Имеем

Как следует из уравнений (6.33) и (6.34), для определения неизвестных коэффициентов а0 и а{ необходимо знать следующие суммы:

Вычисления (без применения ЭВМ) удобно выполнять в соответствии с табл. 6.2.

После определения коэффициентов а0 и ах операция исключения систематической составляющей сводится к вычитанию расчетного значения (у) из результата измерения в /'-м опыте (у), т. е.

У-у,

6.2. Вычисления без применения ЭВМ

Вычисления без применения ЭВМ

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >