Геометрия: некоторые классические соотношения

Аналогично тому, как в алгебре первоначальным понятием является число, так в геометрии первичными понятиями являются точка, линия (в частности, прямая), поверхность (в частности, плоскость).

Используя эти понятия, математики с давних пор решали многочисленные геометрические задачи, отражающие наше представление об окружающем пространстве. В древности дальше других продвинулись греческие математики — имена Пифагора, Евклида, Архимеда на слуху у каждого человека, знакомого с началами школьной геометрии. Их исследования были чрезвычайно глубоки. Они представляются еще более поразительными, если принять во внимание, что в те времена еще не было алгебраического аппарата, которым сегодня (в меру своих успехов!) владеет каждый школьник.

Более того, многие хорошо известные нам алгебраические формулы пришли из геометрии.

В качестве примера напомним одну из основополагающих алгебраических формул:

Для древнегреческих математиков она имела «геометрическое звучание»! Фигурирующие в ней символы а, Ь} а + Ь, а2у b2y {а + b)2 выражали соответствующие длины и площади. Из рис. 1.1 видно, что записанная в левой части площадь квадрата со стороной а + b равняется записанной в правой части сумме площадей 2 квадратов и 2 прямоугольников.

Рис. 1.1

Покажем, как геометрически доказывается теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике (рис. 1.2) квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: а2 + Ь2 = с2.

Рис. 1.2

Доказательство.

Площадь изображенного на рис. 1.3 большого квадрата со стороной а + Ъ равна (а + Ь)2. В то же время этот квадрат состоит из малого (внутреннего) квадрата со стороной с и четырех равных прямоугольных треугольников, суммар-

(

пая площадь которых равна 4^-аб . Поэтому имеем:

Рис. 13

Сравнивая эту формулу и формулу + Ь)2 = а2 + Ь2 + + 2аЬ, находим:

Еще пример. Для школьника не составляет труда найти выражение площади S круга через радиус R и длину I соответствующей окружности (рис. 1.4). Поскольку / = 2яR,

а 5 = лR2, то легко получается: S = ^-R.

А вот как решал эту задачу древнеиндийский математик Ганеши (чье имя означает — Бог слонов). Разбивая горизонтальным диаметром круг на два полукруга, он разделял каждый из них на шесть секторов (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Далее из этих секторов он строил фигуру (рис. 1.6), напоминающую две пилы, соединенные зубьями, и похожую

на прямоугольник с основанием а = ^ и высотой h = R. Принимая его площадь S = ah за площадь круга, он получал требуемую формулу S=^—R. Над этим чертежом Ганс- ши написал одно единственное слово «Смотри!».

Рис. 1.6

Здесь истинность высказывания достигается исключительно наглядностью. Хотя для строгого обоснования математических истин этого недостаточно, но геометрические иллюстрации часто оказываются полезными для интерпретации, а иногда для обнаружения математических закономерностей.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >