ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

Это почти неподвижности мука — Мчаться куда-то со скоростью звука, Зная прекрасно, что есть уже где-то Некто, летящий со скоростью света!

Л. Мартынов

В повседневной жизни, сталкиваясь с теми или иными явлениями в природе и обществе, наблюдая события и участвуя в общественной жизни, мы сплошь и рядом оперируем такими качественными оценками, как быстро и медленно. Сравнивая разные процессы, замечаем, что одни из них протекают быстрее, другие медленнее. В «Золотом теленке», описывая лучезарные, сверхъестественные улыбки, которыми при первом знакомстве поочередно одаривали друг друга два «великих комбинатора», И. Ильф и Е. Петров вспоминают партитуру композитора Ференца Листа, где на первой странице указано играть быстро, на второй — очень быстро, на третьей — гораздо быстрее, на четвертой — быстро как только возможно, а на пятой — еще быстрее В обиходе, оценивая тот или иной процесс, мы задаемся одним и тем же обыденным вопросом: какова скорость происходящего процесса? Это касается движения автомобиля или лайнера, падения уровня смертности или рождаемости, роста биржевого курса акций или курса валюты и многого, многого другого. С точки зрения математики эти примеры допускают единообразный подход к поискам ответа на поставленный вопрос о скорости. Скажем сразу, что применяемый при этом математический аппарат оказывается неизмеримо более мощным, чем требуется для решения этой конкретной задачи, — его потенциальные возможности простираются существенно дальше, фактически во все сферы деятельности, в которых применяется современная математика.

Изучив эту главу, студент должен:

знать:

  • • определения производной и дифференциала, их геометрический и физический смысл;
  • • уравнения касательной и нормали к графику функции;
  • • табличные производные и правила дифференцирования;
  • • основные теоремы дифференциального исчисления;

уметь:

  • • дифференцировать «сложные» функции;
  • • раскрывать неопределенности по правилу Лопиталя;
  • • исследовать функции и строить графики, применяя пределы и производные 1-го и 2-го порядков;

владеть:

  • • техникой дифференцирования;
  • • техникой исследования функций и построения графиков с помощью производных.

Задача о скорости движения в элементарной и высшей математике

Первые из приведенных выше примеров относятся к механическому движению — они наиболее простые и понятные даже ребенку. Поэтому неудивительно, что уже в начальной школе одна из типичных математических задач формулируется так: с какой скоростью движется автомобиль (велосипедист, пешеход или пароход), если расстояние s между городами А и В он преодолевает за время ??

5

Частное - от деления пути на время дает ответ, который

вполне удовлетворяет и школьника, и учителя, ибо негласно предполагается, что движение прямолинейное и равномерное.

А теперь поставим ту же задачу «по-взрослому». Предположим, что путь 5, проходимый телом за время t от начала прямолинейного неравномерного движения, задается функцией s = s(t). С какой скоростью движется тело в момент t? Фактически здесь два вопроса: во-первых, необходимо определить само понятие скорости движения в момент t и, во-вторых, требуется указать способ ее вычисления. Покажем, как математический анализ решает одновременно оба вопроса.

По условию, от начала движения до момента t тело прошло путь, определяемый функцией s(t). Придавая аргументу t произвольное приращение А Г, мы получим новое значение аргумента: t + At. Тогда путь, пройденный телом от начала движения до момента t + At, равен s(r + AO, а разность As = s(t + At)-s(t) выражает путь, пройденный телом за отрезок времени, равный At. Отношение

определяет среднюю скорость движения тела за период времени At. Вид этой величины показывает, что данное отношение зависит как от момента t, так и от того, какое выбрано приращение Д?, причем при большом значении At определяемая таким образом средняя скорость мало что говорит о движении непосредственно в момент времени t. Напротив, при малом временном отрезке At полученная средняя скорость создаст более точное представление о движении в момент t. Уже этот беглый взгляд настраивает на то, что хорошо бы вовсе избавиться от влияния приращения At на тонную характеристику движения в момент t. И такая возможность имеется: необходимо в указанном отношении перейти к пределу, устремив At к нулю.

По определению, предел

называется мгновенной скоростью движения в момент времени t.

Пример 7.1

Предположим, что тело движется по закону прямолинейного

1

равноускоренного движения s(t) = —at2, где а — параметр, больший нуля. Найдем скорость V(t) по вышеприведенной формуле

Разумеется, осведомленному читателю этот ответ известен заранее — из раздела механики школьного курса физики. Мы лишь продемонстрировали, что обновленный подход к понятию скорости и соответствующие ему вычисления приводят к не вызывающему сомнений результату.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >