Основные теоремы дифференциального исчисления

Овладев техникой дифференцирования, рассмотрим более детально связь между функциями и их производными. Говорят, что функция дифференцируема на интервале, если она имеет производную в каждой точке этого интервала. Связь между функцией и ее производной выражает следующая теорема.

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а,Ь] и дифференцируема на интервале (а,Ь), то на этом интервале есть, по крайней мере, одна точка х = с (а в которой производная удовлетворяет усло- вию:

Опуская доказательство (оно имеется в более подробных курсах высшей математики), остановимся на геометрическом аспекте этой теоремы, который отражен на рис. 7.3.

Рис. 7.3

Отношение в правой части равенства выражает тангенс угла а наклона хорды АВ к оси Ох, т.е. равно угловому коэффициенту этой хорды, в то время как производная в левой части равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке С. Так как равенство угловых коэффициентов двух прямых влечет за собой их параллельность, то геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в утверждении, что существует такая точка графика, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей начальную и конечную точки графика.

Следующие записи теоремы Лагранжа называются формулами конечных приращений.

Сравним последнее точное равенство с рассматривавшимся ранее приближенным равенством:

Здесь производная вычисляется в точке х, но равенство приближенное; в формуле конечных приращений равенство точное, но производная вычисляется в некоторой, вообще говоря, неизвестной средней точке.

Замечание. Можно показать, что для квадратного трехчлена средняя точка х = с расположена в точности посередине отрезка

Ml-

Частным случаем теоремы Лагранжа является теорема Ролля, в которой на функцию налагается дополнительное условие, — ее значения в концах отрезка предполагаются равными между собой: f(b) = f(a). Теорема Ролля утверждает существование, по крайней мере, одной такой средней точки х = с, в которой производная равна нулю: /с) = 0. На геометрическом языке это означает, что имеется хотя бы одна точка графика, в которой касательная параллельна оси абсцисс (на рис. 7.4 таких точек три).

Рис. 7.4

Формула Тейлора

Чтобы получить приращение функции с большей точностью, к исследованию привлекают производную второго порядка. Имеет место следующая Формила Тейлора'.

где а — бесконечно малая высшего порядка но сравнению с Ат².

Рассматривая эту формулу в начале координат (в этом случае Ат = т), получаем формулу Маклорена:

Таким образом, данная функция приближенно равна квадратному трехчлену.

Пример 7.3

Правило Лопиталя

Еще одно важное приложение производных состоит в том, что они применяются для раскрытия неопределенностей. Такую возможность предоставляет правило Лопиталя. Суть его состоит в том, что предел отношения функций,

„ 0 °° содержащей неопределенности типа « — » или « — », замени-

О ОО

ется пределом отношения их производных: