Пример полного исследования функции
дх)=^-
Х2+
Исследование без применения производной
- 1. Область определения х (~°°; +°°). Функция непрерывна.
- 2. Точка пересечения с осями координат: О (0; 0). График проходит через начало координат. Других точек пересечения с осью Ох нет.
- 3. Интервалы знакопостояиства функции:
|
хе (-°°;0) |
у< 0 |
График расположен под осью Ох |
|
хе (0; + оо) |
у > 0 |
График расположен над осью Ох |
Результаты изобразим схематично, отмстив засечками те части плоскости, в которых графика нет (рис. 7.7).
Рис. 7.7
4. Функция нечетная: f(-x) = -f(x). График симметричен относительно начала координат.
5. Поведение функции на границе области определения, т.е. при я -»±°°:
Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика. Вертикальных и наклонных асимптот нет.
Исследование с помощью производной первого порядка
Дифференцируем функцию у = /(я):
1. Находим нули производной: /'(я) = 0.
Рис. 7.8
2. Интервалы знакопостоянства производной (интервалы монотонности функции).
|
хе (-°°;-1) |
/х)<0 |
f(x) убывает |
|
хе (-1; 1) |
f'(x)> 0 |
f(x) возрастает |
|
хе (1; + °°) |
fx)<0 |
/(.г) убывает |
Изобразим эти результаты схематично (рис. 7.8):
3. Точки экстремума.
При х = —1 функция имеет минимум: утj„ =—1.
При х = функция имеет максимум: утах=1.
В точках экстремума касательная к графику горизон- тальна.
4. Область значений функции: f(x)e [—1; 1].
1. Нули производной второго порядка: fx) = 0.
Исследование с помощью производной второго порядка
Дифференцируем производную fx):
Рис. 7.9
2. Интервалы знакопостоянства производной второго порядка (интервалы выпуклости или вогнутости графика функции).
|
хе (-<*>;- V3) |
Г(Х)<0 |
График функции выпуклый |
|
хе (->/3;0) |
Г(Х)> 0 |
График функции вогнутый |
|
.г е (0; л/3) |
/*(х) < 0 |
График функции выпуклый |
|
хе (л/3; + °°) |
/'(*)> о |
График функции вогнутый |
Результаты исследования изобразим схематично (рис. 7.9):
3. Точки перегиба при f*(x) = 0:
В точках перегиба определяем угловые коэффициенты касательных:
и проводим касательные.
Итогом проведенного аналитического исследования является построенный по найденным пяти характерным точкам (с учетом асимптоты) график функции, изображенный на рис. 7.10 (с касательными в каждой из этих точек).
Рис. 7.10
