Произведение равных множителей

Задачи вроде тех, которыми мы сейчас занимались, рассматривают вопрос со стороны как бы экономической: при данной затрате сил (например, при прохождении 40- верстного пути), как достигнуть наивыгоднейшего результата (охватить наибольший участок)? Отсюда и заглавие настоящей главы этой книги: «Геометрическая экономия». Но это — вольность популяризатора; в математике вопросы подобного рода носят другое название: задачи «на максимум и минимум». Они могут быть весьма разнообразны по сюжетам и по степени трудности. Многие разрешаются лишь приемами высшей математики; но немало есть и таких, для решения которых достаточно самых элементарных сведений. В дальнейшем будет рассмотрен ряд подобных задач из области геометрии, которые мы будем решать, пользуясь одним любопытным свойством произведения равных множителей.

Для случая двух множителей свойство это уже знакомо нам. Мы знаем, что площадь квадрата больше, чем площадь всякого прямоугольника такого же периметра. Если перевести это геометрическое положение на язык арифметики, оно будет означать следующее: когда требуется разбить число на две такие части, чтобы произведение их было наибольшим, то следует делить пополам.

Например, из всех произведений

и т.д., сумма множителей которых равна 30, наибольшим будет 15 • 15, даже если сравнивать и произведения дробных чисел (Ы’/г • 15!/2Ит.п.).

То же справедливо и для произведений трех множителей, имеющих постоянную сумму: произведение их достигает наибольшей величины, когда множители равны между собою. Это прямо вытекает из предыдущего. Пусть три множителя х, у, г в сумме равны а:

Допустим, что х и у не равны между собою. Если заме- „ х+ у

ним каждый из них полусуммою —, то сумма множителей не изменится:

Но так как, согласно предыдущему,

то произведение трех множителей

больше произведения хуг:

Вообще, если среди множителей хуг есть хотя бы два неравных, то можно всегда подобрать числа, которые, не изменяя общей суммы, дадут большее произведение, чем xyz. И только когда все три множителя равны, произвести такой замены нельзя. Следовательно, при х + у + z = а произведение xyz будет наибольшим тогда, когда

Воспользуемся знанием этого свойства равных множителей, чтобы решить несколько интересных задач.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >