Особенности статистического оценивания параметров риска

Проиллюстрируем работоспособность и конструктивность только что изложенной процедуры принятия рациональных решений применительно к тем ситуациям, которые относятся к категории неполностью определенных и характеризуются разной природой или происхождением соответствующих факторов. Причем сделаем это последовательно и практически для всех показанных на рис. 7.1 видов неопределенности, начиная с природной, а точнее, стохастической неопределенности, закономерности проявления и описания которой вероятностно-статистическими методами частично рассмотрены в гл. 2 данной книги.

Учитывая же доминирующее влияние стохастической неопределенности на процессы возникновения подавляющего числа тех отказов и техногенных происшествий, которые сопутствуют функционированию сложных технических объектов, продемонстрируем порядок принятия рациональных решений на примере двух задач математической статистики. Первая из них будет касаться оценивания значений числовых характеристик некоторых заранее известных статистических распределений, а вторая – проверки статистических гипотез о равенстве их двух числовых характеристик, полученных по разным выборочным данным.

Для принятия решений в рамках первой задачи воспользуемся рассмотренным выше (см. параграф 2.7) методом максимального правдоподобия и продемонстрируем его конструктивность на трех применяемых в безопасности и надежности законах распределения – биномиальном, пуассоновском и нормальном. Напомним, что сущность данного метода состоит в определении таких оценок вероятности Р либо математического ожидания тх и дисперсии , которые лучше всего соответствуют имеющимся выборочным данным , что позволяет применить подобные оценки в качестве единственной числовой характеристики двух первых (дискретных, однопараметрических) распределений или параметров плотности f(xi, ΘY) вероятности нормального (непрерывного двухпараметрического) распределения.

В случае биномиального распределения, например, отказов однотипных технических устройств принятие решения о значении вероятности Р появления таких отказов должно осуществляться на основе их зарегистрированного числа ṁ. Например, при проведении п испытаний подобных технических устройств в неизменных условиях, каждое из которых заканчивается появлением или непоявлением отказа, соответствующая функция правдоподобия, где Θx является статистической оценкой Р, оказывается тождественно равной вероятности фиксации там ровно ṁ отказов, что позволяет записать следующее соотношение:

(7.1)

где "!" – знак факториала соответствующей дискретной величины, численно равный произведению последовательности целых чисел от данной величины до единицы.

Опуская в последнем выражении постоянный множитель , не влияющий на положение искомого максимума функции (7.1), а затем логарифмируя ее упрощенную таким образом версию и беря от нее частную производную по Р, получаем:

Приравнивание последнего выражения к нулю дает уравнение , которое имеет одно решение, обращающее функцию правдоподобия в максимум и равное следующему значению искомой оценки: , имеющей стандартное отклонение

Для пуассоновского распределения (допустим – числа техногенных происшествий) функция правдоподобия, также равная максимальной вероятности наблюдать ровно т уже случившихся подобных случайных событий, задается выражением

(7.2)

где а – параметр, равный среднему числу этих случайных событий, а оценка максимального правдоподобия вероятности их появления определяется так, как это было сделано в предыдущем случае.

Если конкретнее, то логарифмирование последней формулы дает следующее выражение: . Дифференцирование этого выражения по а и приравнивание к нулю полученной при этом производной приводят к уравнению: . Его решение дает искомую здесь оценку , которая при малых значениях имеет распределение хи-квадрат со стандартным отклонением, определяемым из соотношения

При нормальном распределении (например – количества отказов износового типа), уже следует оперировать плотностью вероятности их наступления, которая определяется двумя оцениваемыми здесь числовыми характеристиками: тх и . Поэтому, руководствуясь выражениями (2.25) и (2.32), можно составить как функцию максимального правдоподобия этих параметров, так и выражение для ее натурального логарифма, имеющие следующий вид:

(7.3)

Последовательное дифференцирование последнего уравнения по тх и и приравнивание полученных при этом выражений к нулю приводят к системе

решение которой позволяет принять решение о наиболее правдоподобном значении оценок математического ожидания и дисперсии нормального распределения подобных отказов:

Так как последняя оценка является смещенной, то устранить этот дефект можно двумя способами: 1) заменой в ее выражении оценки тх числа отказов на его истинное значение тх, что допускается при количестве испытуемых технических устройств п > 30, либо 2) уменьшением на единицу знаменателя первого сомножителя этой же формулы:

(7.4)

Что касается найденной оценки тх, то она имеет нормальное распределение с математическим ожиданием тх и дисперсией (где – ее истинное значение). Если вместо дисперсии берется ее оценка , тогда нужно использовать распределение Стьюдента, которому уже будет подчинена случайная величина . Заметим также, что при фиксированном значении логарифм выражения (7.3) будет иметь максимальное значение при соблюдении следующего, более простого условия:

(7.5)

Этот факт следует рассматривать как частный случай метода максимального правдоподобия, который получил в математической статистике наименование метод наименьших квадратов и широко используется при сглаживании экспериментальных графиков с целью их аппроксимации соответствующими регрессионными зависимостями.

Например, если вид одного из таких графиков соответствует прямой линии у = αх, то определить значение тангенса угла α ее наклона можно по следующей зависимости:

которая является решением уравнения, полученного логарифмированием выражения (7.5) и приравниванием к нулю его производной.

В целом же, как следует из только что приведенных результатов, полученных с помощью метода максимального правдоподобия, можно утверждать, что они подтвердили возможность принятия рациональных решений о наиболее вероятных значениях параметров случайного распределения. Необходимость в этом возникает в тех случаях, когда имеются достоверные эмпирические данные о результатах и условиях длительного функционирования однотипных технических устройств или человекомашинных систем. Что же касается решений второго заявленного выше типа, то об этом – в следующем параграфе.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >