ДОНАУЧНЫЙ ЭТАП ПОЗНАНИЯ. ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДПОСЫЛОК НАУКИ В ДРЕВНЕМ МИРЕ

В каком смысле можно говорить о познании и науке в доантичный период

Ряд историков науки уверены, что наука возникла задолго до Античности. А. А. Вайман, один из крупнейших российских исследователей шумеровавилонской математики (его книга так и называется «Шумеро-вавилонская математика III—I тысячелетия до н. э.»), считает несомненным, «что древние математики достаточно хорошо владели методом логического доказательства математических истин»^[1]. И он не одинок, давая вавилонянам такую высокую оценку. Подобного же мнения придерживается и один из патриархов в этой области знания — О. Нейгебауер, который пишет, что «в исторических исследованиях слово “доказать” может иметь только тот смысл, что из тех или иных математических данных и зависимостей при помощи логических умозаключений выводятся новые математические зависимости. <...> Трудно допустить что-либо другое, — продолжает он, — кроме следующего: вавилоняне приводили путем ряда последовательных умозаключений более сложный случай к более простым»^[2].

Получается, что вавилонские математики ничем не отличались от современных. Однако никаких рассуждений и умозаключений мы в текстах того периода не встречаем. Может быть, они не сохранились? Такое случается, но в данном случае дело в другом: похоже, математическое мышление, как его сегодня понимает наука, просто еще не сложилось. Однако это требуется показать, пока же вернемся к историческим реконструкциям.

На что опираются историки математики, оценивая столь высоко вклад в науку шумеро-вавилонской математики? Прежде всего, на собственные реконструкции решений задач, сведения о которых дает расшифровка тысяч и тысяч глиняных табличек, добытых археологами из-под развалин дворцов, хозяйственных построек и школ Древнего Шумера и Вавилона. В этих табличках приведены условия и решения огромного числа задач, но, увы, ничего не сказано о том, почему эти задачи решались именно так, а не иначе. Уже сам характер условий задач и способов их решения поразил и озадачил историков математики. Оказалось, что задачи подобного типа сегодня решаются с помощью алгебраических методов или же их арифметических и геометрических эквивалентов (специально построенных арифметических или геометрических уравнений и преобразований). Решение многих таких задач предполагает довольно развитые математические знания: нужно владеть способами преобразования одних уравнений в другие, знать решения квадратных (и даже кубических) алгебраических уравнений и, наконец, теорему Пифагора. И все это при условии, что о геометрии или алгебре вавилонский математик ничего не знал, да и как он мог узнать, если эти математические дисциплины возникли одна примерно две тысячи, а другая три тысячи лет спустя. Приведем одно из условий вавилонской математической задачи и способ ее решения (вверху мы дадим упрощенный перевод таблички, а в скобках и внизу — алгебраическую запись, к которой обычно прибегают историки математики).

Условие. Длина и ширина. Длина превышает ширину на 4, площадь 32, узнай длину и ширину.

Решение. 4 раздели пополам, получишь два. Два умножь на само себя, ты видишь площадь — 4. Площади 32 и 4 сложи, ты видишь 36. Узнай корень квадратный из 36. Это 6. 6 и 2 сложи, ты видишь 8 — длина. От 6 отними 2, ты видишь 4 — ширина.

Условие: ху = S,x —y = bx=?y=?

Решение:

Это решение, с точки зрения А. Ваймана, позволяет сделать вывод, что шумеры знали алгебраические формулы и преобразования, которые Вайман и приводит в своей книге¹.

Мы привели условие и решение одной из распространенных, так сказать, типовых задач, но в сборниках вавилонских задач можно встретить задачи, которые в алгебраической форме записываются даже такими уравнениями:

¹ См.: Вайман А. А. Указ. соч. — С. 159.

Как же решались эти задачи, на основе какого метода и счисления? Если бы у историков математики были сведения о способах решения вавилонских задач или стиле мышления вавилонских математиков, то методы решения этих задач можно было бы восстановить достаточно легко. Однако каждый крупный историк математики изобретает нечто заменяющее сведения о способах решения, а именно: на основе близких ему математических методов он реконструирует способы их решения. Анализ приемов решения вавилонских задач заставляет думать, что они решались как-то одинаково, на основе близких методов. Однако оказалось, что мнения математиков, реконструировавших способы решения вавилонских задач, резко разошлись. Одни из них утверждают, что вавилонские задачи решались на основе алгебраических методов и счислений, другие — на основе геометрических, третьи — на основе арифметических (в их современном понимании).

Здесь, естественно, возникает вопрос: как же так, ведь вавилонские математики не были знакомы ни с алгеброй, ни с геометрией, ни с современной теоретической арифметикой? Нельзя сказать, что историки математики не знают этого факта. Знают, и очень хорошо. Поэтому они говорят не прямо об алгебре, геометрии или теоретической арифметике, а о том, что, хотя древние математики и не знали этих математических дисциплин, они, тем не менее, «по сути» мыслили алгебраически, геометрически или арифметически. Вот, например, что пишет Вайман: «Наиболее правдоподобна гипотеза, которая может быть подкреплена некоторыми косвенными наблюдениями. Согласно этой гипотезе, по крайней мере, первоначально полные квадратные уравнения, как и система уравнений канонического вида, решались геометрически»^[3].

Иначе считают А. Вандер Варден и О. Нейгебауер. «Вавилоняне, — пишет А. Ван дер Варден, — мыслили прежде всего алгебраически. Сквозь геометрическую внешность просвечивает алгебраическая сущность»^[4]. А вот высказывание Нейгебауера: «...эта математика имеет сильно выраженную алгебраическую ориентировку... вычисление ведется с величайшим изяществом и совершенно тем же методом, который применили бы и мы теперь»^[5]. Но с мнением и реконструкцией Нейгебауера не согласен известный российский историк математики С. Я. Лурье. В комментариях к книге Нейгебауера он пишет: «От сложности применяемых Нейгебауером алгебраических формул рябит в глазах. По его мнению, вавилоняне применили вполне сознательно хитроумный алгебраический прием. <...> Между тем если решить эту задачу тем арифметическим способом, который широко применялся в индийской и арабской математике и который скорее всего восходит к Вавилону, именно методом ложного предположения, то каждое из действий, применяемых в тексте, получит свой смысл и не окажется никакой нужды в нынешней алгебре»^[6].

Два соображения об алгебраических и геометрических реконструкциях и о так называемом методе ложного предположения. Алгебраическая или геометрическая реконструкция вызывает сомнение уже хотя бы потому, что трудно предположить у вавилонских математиков наличие современного уровня и стиля математического мышления, а ведь именно это приходит на ум, если принять подобные реконструкции. Но, более того, оказывается, что вавилонские математики по уровню своего мышления стояли на голову выше современных математиков, которые без алгебраической или геометрической символики не могут решать вавилонские задачи, в то время как вавилоняне их решали даже в школах. Наконец, каким образом вавилонские математики пришли к алгебраическим или геометрическим методам решения и почему они не сделали еще одного пустякового шага: не записали эти методы в стройной системе алгебраического и геометрического счисления?

Сложнее оценить метод ложного предположения, на первый взгляд, он вроде бы отвечает уровню вавилонского мышления^[7]. Но только на первый взгляд. Действительно, зачем, спрашивается, вместо одной задачи решать другую (подобный подход — сведение одной задачи к другим — естествен и оправдан в теоретическом мышлении и малопонятен в том случае, если оно еще не сложилось). Кроме того, необходимое условие применения метода ложного предположения — установление соотношений между задачей-моделью (ложным предположением) и исходной задачей, которую необходимо решить. Современные же логические и психолого-педагогические исследования показывают, что установить такие соотношения невозможно без моделирования условия задачи в алгебре или геометрии (вероятно, этот факт проверили на себе многие родители, безуспешно пытаясь в свое время помочь детям решить сложные арифметические задачи, не прибегая «по условиям игры» к алгебраическим уравнениям и преобразованиям). Следовательно, применение метода ложного предположения, как его реконструируют историки математики, в скрытом виде само предполагает обращение к алгебраическим или геометрическим соотношениям и преобразованиям.

Итак, ни одна из реконструкций, предложенных историками математики, не выдерживает серьезной критики. Спрашивается, почему? Возможно, потому, что создание хорошей реконструкции не под силу одним лишь историкам математики, знакомым, что естественно, главным образом с математикой. Ведь здесь речь идет не столько о математике, сколько о мышлении, а мышление, как известно, изучается прежде всего, в логике, психологии, теории культуры. Наделяя вавилонских математиков современным стилем и характером мышления, историки математики нарушают, к примеру, некоторые основные принципы исторического рассмотрения культур, принципы исторического анализа человеческого сознания, мышления и поведения. Согласно этим принципам шумеро-вавилонская культура самобытна и непохожа на современную. Языки, сложившиеся в этой культуре (и математические в том числе), принципиально отличны от современных, мышление и поведение представителей шумеро-вавилонской культуры своеобразны и определяются всем строем данной культуры и ее историей.

Рассмотренная здесь ситуация с реконструкцией доантичных «математических» текстов сходна с ситуацией реконструкции древних «астрономических» текстов. С одной стороны, известно, например, что теоретическая астрономия сложилась только в Древней Греции (Евдокс, Гиппарх, Птоломей), с другой — О. Нейгебауер утверждает, что вавилоняне создали «стройную математическую теорию» движения Луны и планет^[8]. Впрочем, другие историки астрономии утверждают, что астрономия как наука сложилась только в античной культуре. Почему же историки науки по-разному объясняют начала и природу математики и астрономии и других точных наук? Хотя иногда различные реконструкции генезиса точных наук дополняют друг друга, все же чаще они находятся, так сказать, в антагонистических отношениях. Естественное следствие подобного положения дел — борьба за истину, за правильный взгляд на исторический процесс, за поиски критериев предпочтения одного исторического объяснения другим.

Один критерий предпочтения относительно очевиден. Новая историческая реконструкция и осмысление не должны увеличивать противоречия в системе исторических знаний. Объясняя одно, нельзя запутывать весь круг проблем, порождать глубокие антиномии в существующем историческом предмете. Так, если принять, что вавилонские математики в какой-то форме владели алгеброй или геометрией, то оказывается, что они по уровню своего мышления стояли на голову выше современных математиков, которые без алгебраической или геометрической символики не могут решать вавилонские задачи, в то время как вавилоняне делали это даже в школах. Появление подобного парадокса — следствие такой исторической реконструкции, когда вавилонским писцам и учителям приписывают современные способы математического мышления. Еще один пример — скандальная реконструкция истории Фоменко. Если ее принять, то окажется, что не только нет Античности, но и на порядок возрастают исторические парадоксы.

Второй критерий предпочтения более сложен и менее очевиден. Почему иногда кто-то создает новую историческую реконструкцию, отказывается от существующих исторических знаний, критикует и зачеркивает их? Потому, что этот некто — носитель другой культуры мышления, представитель другого научного сообщества. Как правило, исторические реконструкции точных наук периодически обновляются и переписываются (перевоссоздаются) на основе современных гуманитарных способов научного мышления. Со всей определенностью нужно сказать: история — гуманитарная дисциплина со всеми вытекающими отсюда последствиями. Одной из важных особенностей гуманитарной науки является множественность точек зрения на один и тот же исторический материал, множество разных интерпретаций исторических текстов и фактов, разных исторических истин. Из введения и предыдущей главы должно быть ясно, что я буду осуществлять реконструкцию и строить объяснение в рамках культурологии.

Теперь вторая проблема. Если предположить, что наука сложилась только в Античности, то все равно нужно объяснить, каким образом в доантичной период получались новые знания и что это такое. Для меня как культуролога очевидно, что научное мышление в том виде, как мы его сегодня понимаем, т. е. как получение знаний в рассуждениях и доказательствах, сложилось не раньше Античности. К тому же фактически до VIII—VII вв. до н. э. в текстах не встречается никаких рассуждений и доказательств. Что же в них есть? То, что исследователи называют предписаниями, «атрибутивными» и «мифологическими» знаниями, причем последние обычно представляют собой нарративы, т. е. рассказы, повествования. Примером предписания является приведенное выше решение вавилонской задачи, пример атрибутивных знаний — выражение типа «это то-то» («человек», «дерево», «олень», «большой», «тяжелый», «сильный» и т. п.).

Мифологические знания имеют другое строение. Австралийские аборигены о человеке, лежащем в летаргическом сне и затем очнувшемся, говорят так: «Его душа отправилась к берегам реки смерти, но не была принята и вернулась оживить снова его тело»^[9]. Второй пример — рассмотренный в первой главе нарратив «жених-охотник». Третий, более развернутый — мифологические представления народов манси, живущих в Ханты-Мансийском автономном округе. Мифологическая система манси весьма сложная и богатая, местами напоминает верования персов, индусов, вавилонян, древних греков. Манси верят в духов (семейных, родовых, лесных, промысловых, добрых и злых), причем считают, что человек и животное имеют две души — ис («тень») и лили («дух»). По другим этнографическим данным, мужчина имеет пять душ: душу, переходящую от одного человека к другому, душу-тень, душу-волосы, по которой человек после смерти идет в мансийский рай, душу-дыхание и душу-тело. Женщина имеет четыре души.

Верят манси также и в реинкарнацию, т. е. переселение душ. Они считают, что в промежутке между смертью одного человека и рождением другого, в которого данная душа переселяется, для души нужно сделать специальное жилище, называемое «иттермой». Как правило, иттерма представляет собой схематическое изображение умершего человека (в форме деревянного идола сантиметров 50—60, наряженного в расшитые бисером одежды). Раньше иттерма изготовлялась непременно из венца дома, где жил покойник. Манси считают, что душа покойного воплощается затем в младенца, родившегося в этом же доме^[10]. Спрашивается, можно ли считать все это знаниями и как представления манси объяснить с культурологической точки зрения. Обычно картины такого рода относят к мифам. Но на представления о реинкарнации, нарратив «жених-охотник» или понимание смерти как отбытия души в страну мертвых можно посмотреть и с эпистемологической точки зрения, т. е. как на мифологическое знание. Тогда встают вопросы: что собой такие знания представляют, каким образом они были получены, с какой целью?

Структуру самых простых, атрибутивных типов знаний: это «стол», «дерево», «олень», «большой», «зеленый» и т. п. — проанализировал в своих ранних работах Г. П. Щедровицкий. Предварительным условием их формирования, показывает он, было выделение общественно фиксированных эталонов (например, эталона «олень» или «зеленый») и «изобретение» знаковой формы, т. е. в данном случае соответствующих слов — «олень», «зеленый». Чтобы получить само знание А о некотором объекте X, пишет Щедровицкий, необходимо последний сопоставить с эталоном и, зафиксировав их тождество, выразить результат сопоставления в знаковой форме. Скажем, если объект удается отождествить с эталоном «олень», то этот объект называется словом «олень», хотя в содержании знака «олень», подчеркивал Щедровицкий, фиксируется и выражается прежде всего результат сопоставления объекта X с эталоном^[11].

Более сложные типы знаний, вплоть до научных, Щедровицкий и участники ММК в конце 50-х — начале 60-х гг. предлагали анализировать по следующей схеме. Сначала реконструируется так называемая «ситуация разрыва», под которой понималось какое-то затруднение в производственной деятельности социума, требующее своего разрешения. Затем опять же методом реконструкции воссоздается структура знания, которое позволяет снять данную ситуацию разрыва. Эта структура включала в себя: объекты, действия с объектами, знаки, замещающие объекты, действия со знаками уже как с самостоятельными объектами. Щедровицкий писал, что замещение объектов знаками не только позволяет разрешить возникшее затруднение в деятельности, но и создает условие для развития деятельности, в которой рано или поздно возникали новые ситуации разрыва. Они разрешались за счет очередных знаний, следующих этапов развития деятельности и т. д.

Когда автор подключился в начале 60-х гг. к работе ММК, Щедровицкий поставил перед ним задачу проанализировать в рамках данного метода реконструкции происхождение математических знаний. Предполагалось, что они возникли в древнем производстве, прошли в своем развитии несколько этапов и были в античной культуре систематизированы Евклидом в знаменитых «Началах». Чтобы познакомиться с ранними формами математических знаний, говорил Щедровицкий, нужно обратиться к работам историков математики.

Следуя этому совету, я начал изучать ранние формы счета, планы полей и формулы подсчета их площадей, решения, так называемых, вавилонских математических задач, ну и, конечно, «Начала» Евклида^[12]. Реконструкция развития знаний, зафиксированных во всех этих текстах, позволила многое понять и хорошо объясняла первые этапы развития древней математики. Но собственно «Начала» этим методом объяснить не удалось. По этому поводу я часто спорил с Щедровицким. Последний считал, что плох не метод, а его реализация в данном конкретном случае. Я, напротив, доказывал, что к «Началам» предложенный метод реконструкции знаний уже не применим. Не применим этот метод и к мифологическим знаниям.

• [1] Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика III—I тысячелетия до н. э. — М.,1961. — С. 209.
• [2] Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. — Л., 1937. —С. 227.
• [3] Вайман А А. Указ. соч. — С. 168.
• [4] Варден А. Ван дер. Пробуждающаяся наука. — М., 1959. — С. 97.
• [5] Нейгебауер О. Лекции по истории... — С. 201.
• [6] Нейгебауер О. Лекции по истории... — С. 205.
• [7] Суть этого метода можно пояснить на примере решения следующейдревнеегипетской задачи (задача № 26 из папируса «Ринда»): «Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Вычисли мне это». (Решение.) Считай с 4, от них возьмичетверть, а именно 1, вместе будет 5, раздели 15 на 5, это будет 3, умножь 4 и 1 на 3,будет 12 и 3». В основе решения здесь лежит следующая идея. Из условия задачи известно соотношение, связывающее известные величины с неизвестными (в данном примере первая величина в четыре раза больше второй). Выбрав любое удобное значение неизвестной (например, число 4), можно, зная данное соотношение, построить вычисление (4 ::4 = 1; 4 + 1 = 5). Сравнение результата произведенного вычисления (т. е. числа 5)с соответствующей величиной, данной в условии задачи (числом 15), позволяет узнать,насколько выбранное значение неизвестной отличается от истинного значения (15 :: 5 = 3). Значение этого отклонения (числа 3) используется затем для выбора численным путем правильного значения неизвестной величины (4x3 = 12) (См.: ВарденА. Ван дер. Указ. соч. — С. 37).
• [8] См.: Нейгебауер О. Точные науки в древности. — М., 1968. — С. 116, 138—139.
• [9] Тэйлор Э. Указ. соч. — С. 270.
• [10] Гемуев И. Н. Мировоззрение манси: дом и космос. — Новосибирск, 1990.
• [11] Щедровицкий Г. П. О строении атрибутивных знаний // Избр. тр. — М., 1995.
• [12] См.: Розин В. М. Семиотические исследования. — С. 37—44.