Сокращенное описание динамических систем

Любая физическая модель изучаемого явления в случае динамических систем должна основываться на использовании законов физики. То же самое, разумеется, справедливо и для моделей биологических, химических и т.д. систем в плане опоры на фундаментальные законы соответствующей области науки. Однако именно на примере физических систем, обладающих строгими динамическими законами, можно проследить за некоторыми общими особенностями моделей и путями их построения.

Иерархия математических моделей, используемых для описания свойств реальных динамических систем, содержит последовательность моделей различной степени сложности. Однако здесь проявляется одна характерная черта для любых сложных динамических систем: сравнительно простые (и даже заведомо упрощенные) физические и математические модели явления часто дают те же самые качественные картины поведения системы, что и гораздо более сложные и полные модели. Объяснение причин такого положения основывается на использовании понятия иерархии временных масштабов. Сформулированная первоначально Н. Боголюбовым для установления соответствия между динамическим и статистическим описаниями свойств систем многих частиц, идея иерархии временных масштабов не только определила главное направление развития современной теории неравновесных свойств физических систем, но и получила широкое распространение при описании свойств систем самой различной природы, и является одним из основополагающих положений синергетики — теории самоорганизации неупорядоченных систем.

Иерархия характерных для системы временных масштабов определяет возможность перехода к сокращенному описанию системы, когда целью теории является не получение всей в принципе возможной информации о свойствах системы, а только определенной части этой информации. Проиллюстрируем данное положение на самом простом уровне.

Рассмотрим произвольную динамическую систему, обладающую большим (но конечным!) числом п степеней свободы. Предположим, что существует определенный набор переменных

X = (X|, JC2, xm), где m «: л, обладающих тем свойством, что задание значений Л((О|,=0 = Д> определяет значения ДО для всех последующих времен t > 0. Например, в электрической цепи в случае квазистационарных явлений достаточно задать распределение токов и напряжений в некоторый начальный момент времени, для того чтобы показать характер их изменений со временем, не вникая в детали микроскопических процессов движения элементарных зарядов по цепи.

Возможность определения величин X(t) на основе знания их значений ДО) в начальный момент времени означает, что существует так называемое управляющее уравнение (в указанном примере — закон Ома для цепи переменного тока), которое значительно проще, чем уравнения Лиувилля и Нейманна (соответствен»ю для классических и квантовых систем), описывающих свойства системы элементарных зарядов в цепи. Управляющее уравнение замкнуто на уровне переменных X = (хь хт), и при т <к п осуществляет сокращенное описание рассматриваемой системы.

Во многих реальных системах многих частиц оказывается возможным выбрать относительно небольшое (по сравнению с полным числом динамических переменных) число медленно меняющихся величин X (квазиинтегралов движения), характерные времена изменения которых гораздо больше времен изменения остальных динамических переменных Y(ym+u Ут+ъ •••, У„)- Величины X могут выбираться в качестве новых переменных (например, с помощью канонических преобразований), так что полная система динамических уравнений системы записывается в виде

где X = (х,, ..., xj, У(ут,и Ут + Ъ Уп), т« л-

Теперь можно решить систему уравнений для величины У, считая ^фиксированными параметрами. Получим

где Y0 = Y(t) — начальные условия для величины Y

Подставляя решения (2) уравнений для Y(t) в уравнения для величин ДО, приходим к соотношениям

Эта система уравнений оказывается замкнутой на уровне набора переменных X, поскольку значения Y0 можно рассматривать как набор фиксированных параметров. Если рассматриваемая система обладает тем свойством, что спустя некоторое время т «забывает» о начальных значениях Yq величин Y(t), то, переходя к более грубому масштабу времени, можно записать уравнения (3) в виде

где теперь «бесконечно малая» величина dt должна существенно превышать время т забывания системой начальных условий для величин Y Уравнение (4) — это типичное управляющее уравнение для «медленно» меняющихся величин X-ь ..., лгт), теп, записанное в огрубленной временной шкале, в которой уже невозможно прослеживать во времени эволюцию «быстрых» переменных У

Та же самая идеология может быть применена при анализе любого сложного явления в системах различной природы. Предположим, что некоторая нелинейная система описывается бесконечной системой дифференциальных уравнений:

Отметим, что к такому виду может быть приведено любое уравнение в частных производных или любое интегро-дифференциальное уравнение. Величины Fn в системе уравнений (6) можно рассматривать, например, как фурье-компоненты, а члены типа ynFn описывают некоторые диффузионные процессы; нелинейные функции /о, /, /2,... могут зависеть от амплитуд всех гармоник Фурье.

Будем предполагать, что уравнения в системе (5) записаны в таком порядке, что 0 < у, < у2 < и рассмотрим одно из уравнений системы:

Наряду с (6) рассмотрим более простое уравнение

где F(t) — некоторая заданная функция с характерным временем изменения т, например

Если т,- = 1/у, «т и интересующий нас процесс изменяется с характерным временем, много большим, чем т,, то дифференциальное уравнение (7) можно заменить алгебраическим уравнением

Законность такой замены определяется условием т » у,-1 и соответствует определенному «адиабатическому» приближению. Если для рассматриваемой системы справедлива цепочка сильных неравенств:

а функции /таковы, что допускают использование уравнений (8) для i > т, то в результате мы приходим к системе (т + 1) дифференциальных уравнений и бесконечной системе алгебраических уравнений:

Эти уравнения описывают процессы с характерными временами изменения т»уЛ-1. При этом величины Fm+h Fm+2 ... выражаются через первые + 1) величины F0i Fh ..., Fm с помощью алгебраических операций, или с помощью каких-либо эвристических соображений устанавливается, что Fm+b Fm+2, ... гораздо меньше, чем первые + 1) величин. В результате, указав точность и характерные времена, мы приходим к системе (т + 1) дифференциальных уравнений, разумеется, в огрубленной временной шкале:

Эта система уравнений значительно проще исходной системы (5). Смысл этих уравнений может быть выражен словами: в системе имеется определенная иерархия процессов, основанная на иерархии временных масштабов (9) — медленные моды Fh i = О, 1, ..., т «управляют» быстрыми модами. Подчеркнем, что в принципе возможны несколько стадий огрубления временной шкалы, что приводит к иерархии все более и более простых математических моделей. В то же время понятно, что в рамках огрубленной временнбй шкалы упрощенная математическая модель способна правильно описывать эволюцию достаточно «медленно» меняющихся со временем величин.

Выбор подходящей временнбй шкалы часто определяется возможностями измерений, которые могут быть проделаны в системе и которые в конечном счете определяются конструкцией измерительных приборов. В случаях, когда допустимая временная шкала достаточно «груба» для того, чтобы «усреднять» типичные микроскопические изменения в системе, бессмысленно развивать физическую и математическую модели явления, учитывающие такие микроскопические изменения, и адекватная физическая и математическая модели могут оказаться достаточно простыми.

Рассмотрим простой пример построения сокращенного описания системы, выполненного на интуитивном уровне. Пусть имеется одномерный затухающий механический осциллятор с трением, пропорциональным скорости, который в отсутствие трения был бы гармоническим. Динамический закон (второй закон Ньютона), управляющий движением такого осциллятора, записывается в виде

Общее решение этого уравнения, соответствующее полному динамическому описанию системы, имеет вид

где

Произвольные постоянные А и <р в выражении (13) определяются начальными условиями и соответствуют начальной амплитуде и начальной фазе колебаний.

В случае слабого затухания, когда у Шо, частота со очень близка к частоте coq собственных свободных колебаний:

Произведение Ae~v в выражении (13) в таком случае обычно трактуется как медленно меняющаяся со временем амплитуда колебаний: амплитуда убывает в е раз за время т = 1/у — время затухания (время жизни) колебаний. При у «: о)0 время т оказывается много больше периода Т = 2я/co колебаний. Другими словами, за время т происходит много полных циклов колебаний. Последовательные максимальные отклонения от равновесия в случае слабого затухания образуют убывающую геометрическую прогрессию:

Декремент затухания Д определяемый соотношением дает число колебаний, совершаемых за время затухания т = 1/у:

Энергия колебаний также убывает со временем, причем осцилляции потенциальной ?п и кинетической Ек энергий происходят с вдвое большей частотой 2о в противофазе. Действительно, для потенциальной энергии ?п имеем

При вычислении кинетической энергии Ек можно пренебречь слагаемым, возникающим при дифференцировании множителя e~yt, поскольку у0. Поэтому

Полная энергия колебаний Е = ?п + ?к, как следует из (19) и (20), пропорциональна квадрату амплитуды и экспоненциально убывает со временем:

Если нам не требуется полная динамическая картина поведения системы и мы хотим знать только закон изменения полной энергии со временем, то можно осуществить сокращенное описание системы, рассматривая полную энергию Е как «медленную» переменную. Основанием для такого предположения является сохранение энергии при незатухающих свободных колебаниях. Очевидно, что при слабом затухании энергия заметно уменьшится только за много циклов колебаний.

Закон, определяющий изменение энергии ?, гласит: в отсутствие действия внешних сил изменение полной механической энергии равно работе диссипативных сия. Поэтому приходим к уравнению

С учетом (14) соотношение (22) эквивалентно дифференциальному уравнению

Теперь перейдем к огрубленному масштабу времени, предполагая величину dt в (23) большой по сравнению с периодом колебаний Т = 2л/со. Фактически это означает, что мы переходим к рассмотрению усредненных по периоду колебаний величин. При этом естественно заменить стоящее в правой части (23) мгновенное значение кинетической энергии Ек = тх2/2 на половину значения полной энергии ?. В результате вместо (23) получаем уравнение

решение которого Е = Е0е~2у( совпадает с выражением (21). В рассматриваемом случае слабого затухания полная механическая энергия системы является квази интегралом движения: изменение энергии за один период колебаний мало по сравнению с самой энергией. При переходе к огрубленной шкале времени мы, естественно, потеряли детальную информацию о поведении «быстрых» переменных (координаты и скорости), но получили более простое уравнение (24) для медленно меняющейся величины Е на основе строгого закона физики (22) — закона изменения механической энергии.

Возможность непосредственной записи уравнения (24) определяется как пониманием фундаментального закона сохранения энергии, так и пониманием качественной картины затухания колебаний в условиях малости силы трения.

Обратим внимание еще на одно обстоятельство. При получении выражения (20) для кинетической энергии осциллятора мы пренебрегали членами порядка уМ) по сравнению с единицей. В действительности это означает, что мы пренебрегали неравномерностью диссипации энергии в течение одного периода колебаний, что отчетливо видно из уравнения (23).

Точное выражение для кинетической энергии затухающего осциллятора, полученное с помощью (13), имеет вид

В последнем приближенном равенстве пренебрежем членом порядка у2Л°ь2- Для удобства можно выбрать начальную фазу колебаний ф = 0. Из (25) следует, что в течение некоторых очень малых промежутков времени At <$: 2у/о>02 кинетическая энергия Ек не будет обычным образом сдвинута по фазе по отношению к потенциальной энергии. Измерения кинетической энергии, выполненные в различные моменты времени, выявят совершенно различные картины. Можно утверждать, что «идеальное» измерительное устройство, способное измерять мгновенные значения физических величин, обнаружит различное поведение системы в разные интервалы времени. Если же измерительное устройство «усредняет» показания по временному интервалу, сравнимому с периодом колебаний, то бессмысленным становится построение модели, соответствующей полному динамическому описанию.

Как мы увидим в дальнейшем, измерительные устройства вносят дополнительные сложности в вопрос о выборе уровня описания системы, которые должны быть приняты во внимание с самого начала построения математической модели явления.

Задачи и упражнения

  • 1. Поясните, каким образом интегральное уравнение может быть сведено к бесконечной системе алгебраических уравнений.
  • 2. Поясните роль «забывания» системой начальных значений быстрых переменных Кв получении управляющих уравнений (4) для медленных переменных X. Охарактеризуйте огрубленный масштаб времени, фигурирующий в уравнениях (4).
  • 3. Поясните условия, при которых дифференциальное уравнение (7) можно заменить на алгебраическое уравнение (8).
  • 4. Поясните условия, при которых кинетическая энергия осциллятора тх7/2 может быть заменена на половину значения полной энергии Е.
  • 5. Сформулируйте условия, при которых может использоваться выражение (20) для кинетической энергии осциллятора вместо точного выражения (25).

Литература: [6], [16].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >