Переход к сокращенному описанию динамической системы

Интуитивный подход к установлению вида уравнений, соответствующих сокращенному описанию сложных систем с сильным межчастичным взаимодействием, изложенный выше, может быть строго обоснован с помощью метода проектирующих операторов. Кроме того, этот метод позволяет установить общий вид кинетических уравнений, которые в определенных модельных приближениях оказываются существенно проще исходных уравнений Лиувилля или Неймана для классических и квантовых систем соответственно. Таким образом, устанавливается общая формальная схема построения иерархии моделей на пути «сверху вниз».

Запишем исходное дифференциальное уравнение в частных производных, соответствующее полному описанию классической или квантовой системы, в виде

где использована система единиц с й = 1, р — полная ^-частичная функция распределения (или оператор плотности в случае квантовой системы), a L — оператор, определяющий динамику системы. Например, в случае классической системы уравнение (1) — это уравнение Лиувилля, a L — самосопряженный оператор Лиувилля, определяемый соотношением

Суммирование в (2) проводится по всем степеням свободы системы. Уравнение (1) решается совместно с начальным условием р(0) = р0.

В случае квантовой системы оператору L соответствует коммутатор:

Формальное решение исходного уравнения (1) имеет вид

Предположим, что существует проектирующий оператор Р, с помощью которого осуществляется переход к сокращенному описанию, задаваемому р,(Г):

Будем считать оператор Р не зависящим от времени линейным оператором, что позволит получить вместо (1) более простые уравнения. Вводим р2(0 соотношением

Теперь полный оператор р представим в виде

С помощью соотношений (4) —(6), действуя на уравнение (1) операторами Р и (1 - Р), придем к следующим уравнениям:

Далее, подставляя в выражение (17) формулы (10) и (11) для М и ф(/), получим

После подстановки выражения (18) в уравнение (7) получаем уравнение для р, (/):

Прежде всего отметим, что уравнение (19) вместе с уравнением (18) для р2(/) эквивалентны исходному уравнению (1), поскольку при их выводе не делалось никаких приближений. Однако в математическом отношении ситуация стала иной. Уравнение (19) для функции сокращенного описания р,(г) — это уравнение с запаздывающим аргументом, что означает появление памяти у системы: последнее слагаемое в правой части (19) содержит рi(t-s). В результате для уравнения (19) нужно определять не задачу Коши, а задавать предысторию системы в терминах сокращенного описания.

Кроме того, чтобы сделать уравнение (19) замкнутым относительно Р|(/), нужно либо задать, либо исключить из него р2(0), т.е. необходимо сделать определенную гипотезу о начальном состоянии системы в терминах ее полного описания. Далее необходимо проанализировать вопрос о «памяти». Если удастся обосновать положение о том, что функция памяти обращается в нуль за характерное время, в течение которого р,(/) не меняется существенно, то нелокальный во времени характер уравнения (19) не имеет значения: переходом к более грубому масштабу времени можно исключить запаздывание временно'го аргумента. Физической основой замыкания уравнения эволюции на уровне сокращенного локального во времени описания является иерархия временных масштабов. Характерное время изменения быстрых переменных приобретает при этом смысл времени, за которое в системе установилось бы квазиравновесное состояние, определяемое медленными величинами, если бы эти квазисохраняющиеся величины действительно сохраняли свои значения. Это и есть время корреляции.

Обычно в неравновесном процессе достаточно сложной системы можно выделить несколько характерных стадий. Каждой стадии соответствует свой характерный временной параметр и свое управляющее уравнение. Оно управляет эволюцией сокращенного описания на этой стадии. Совокупность таких управляющих уравнений определяет иерархию моделей, описывающих эволюцию системы на определенных стадиях.

Выше мы уже познакомились с такой ситуацией на примере нескольких физических систем, в частности на примере газа, состоящего из электрически нейтральных частиц. При этом стадия, определяющая эволюцию распределения импульсов частиц системы, называется кинетической. В разреженном классическом газе она выделяется малым параметром nR3 и управляется одночастичной функцией распределения. Стадия, соответствующая эволюции термодинамических характеристик системы — средней плотности энергии, импульса, массы и т.д., называется гидродинамической и управляется несколькими первыми моментами одночастичной функции распределения. (Этот вопрос будет рассмотрен более подробно на примере классической плазмоподобной среды.)

В заключение данного подраздела отметим еще одно обстоятельство, проливающее свет на определенные свойства редуцированных математических моделей, соответствующих сокращенному описанию системы. Оператор Лиувилля Z, определяемый соотношением (2), является самосопряженным. Поэтому его собственные Li значения вещественны, а система собственных функций у, полная:

В случаях, когда оператор L не зависит от времени явно (т.е. структура системы не меняется при происходящих процессах), формальное решение уравнения (1) может быть записано в виде

где оператор e~itL понимается в смысле своего разложения в ряд Тейлора. Поэтому справедливо равенство

Начальное значение функции распределения р(0) может быть представлено в виде разложения по полной системе функций у,:

Теперь, с учетом (22) и (23), решение (21) уравнения (1) может быть записано в виде

Поскольку собственные значения Д вещественны, то выражение (24) наглядно демонстрирует обратимость динамических уравнений во времени, когда полностью сохраняется вся возможная информация о рассматриваемой системе. Таким же обратимым во времени является и уравнение (19), полученное из уравнения (I) с помощью тождественных преобразований. Однако переход к сокращенному описанию системы в общем случае должен приводить к появлению необратимости во времени, поскольку такой переход всегда сопровождается потерей части информации.

Задачи и упражнения

  • 1. Существует ли оператор, обратный оператору проектирования Р? Приведите качественные физические соображения, указывающие на невозможность существования обратного оператора.
  • 2. Предложите конкретные примеры для проектирующего оператора Р.
  • 3. Докажите самосопряженность оператора L, определяемого соотношением (2).
  • 4. Поясните смысл второго слагаемого в правой части уравнения (19), содержащего р2(0).
  • 5. Поясните, как иерархия характерных для системы масштабов времени связана с возможностью перехода к ее локальному во времени сокращенному описанию.

Литература: [16].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >