Синтез электрических фильтров

Под синтезом линейной цепи (электрического фильтра) понимают определение структуры и параметров элементов ее схемы, обеспечивающих заданные свойства. Как правило, синтез — неоднозначная процедура, поскольку заданным параметрам и характеристикам могут отвечать несколько структур. Желательно, чтобы синтезируемая цепь содержала минимально возможное число элементов и была оптимальна. В задачу курса «Общая теория связи» не входит общая теория синтеза фильтров, так как она изучается в основах теории цепей. Поэтому рассмотрим лишь ряд вопросов. В частности, проведем синтез фильтров по заданному частотному коэффициенту передачи, разделив его на два этапа.

На первом этапе синтеза выбирают идеализированную функцию, достаточно точно описывающую частотный коэффициент передачи по мощности. Обычно фильтр, отвечающий идеализированной частотной характеристике, практически неосуществим (физически нереализуем). Поэтому этот этап включает также аппроксимацию выбранной идеальной частотной характеристики такой функцией, которая может принадлежать физически реализуемому фильтру. Второй этап синтеза заключается в практической реализации фильтра (разработке принципиальной схемы), обладающего полученной частотной характеристикой.

Поскольку первый этап синтеза фильтров, связанный с подбором аппроксимирующих функций (многочлены Баттерворта, Чебышева), был рассмотрен ранее, перейдем ко второму этапу. Основой реализации служит передаточная функция (операторный коэффициент передачи) фильтра К(р). Эта функция отражает результат аналитического переноса комплексного частотного коэффициента передачи К(со) с мнимой оси jeo на всю область комплексных частот р = а + усо (а — вещественная часть комплексной частоты):

где К0 постоянная величина; zv zv ..., zm — нули функции К(р), т.е. корни уравнения числителя R(p) = 0; pvp2, —>Рп ~ полюсы функции К(р), т.е. корни уравнения знаменателя Q(p) = 0; т и п — соответственно порядки полиномов R(p) и Q(/?).

В теории синтеза фильтров рассматривают линейные четырехполюсники, передаточные функции которых имеют ограниченное число нулей и полюсов. Значит, фильтры содержат конечное число сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Для упрощения расчетов вводят еще два дополнительных условия:

  • • число полюсов передаточной функции должно превышать число нулей;
  • • полюсы должны располагаться в левой полуплоскости.

Если нули и полюсы передаточной функции заданы, то используют структурный синтез, при котором фильтр реализуют в виде каскадного включения iV-ro числа простейших звеньев с передаточными функциями К{(р), К2), KN(p)y разделенных идеальными усилителями. Передаточная функция фильтра определяется произведением

Пример 4.8

Необходимо синтезировать электрический фильтр, имеющий частотный коэффициент передачи

где тр т2 — постоянные времени составляющих схему цепей.

Решение

Представим частотный коэффициент передачи в операторной форме (т.е. в виде передаточной функции), заменив параметр /со на р:

Решая уравнение знаменателя /гтгт2 + р(т, + т2) + 1 = 0, находим полюсы функции: р, = — 1/Тр р2 = -1/т2. Из этих значений следует, что полюсы функции К(р) находятся на вещественной оси а в левой полуплоскости (рис. 4.34, а).

Рис. 4.34. Синтезируемый фильтр:

а — координаты полюсов передаточной функции; б — схема

Запишем передаточную функцию фильтра в виде произведения передаточных функций двух звеньев:

где

Перейдем от передаточных функций к частотным коэффициентам передачи:

Эти выражения представляют собой коэффициенты передачи соответственно дифференцирующей (4.18) и интегрирующей (4.19) цепей: т, = Я,С,, т2 = Я2С2- Напомним, что в курсе основ теории цепей подобные звенья, содержащие резисторы и реактивные элементы только с сопротивлениями одного знака (или индуктивности, или емкости), называются звеном 1-го порядка (апериодической цепью).

Схема фильтра, отвечающая заданному частотному коэффициенту передачи, показана на рис. 4.34, б. В фильтре применен идеальный развязывающий усилитель с коэффициентом усиления К0 = включенный между двумя звеньями.

Усложненные по структуре электрические фильтры можно реализовать на основе звеньев 2-го порядка (колебательных цепей), содержащих реактивные элементы с сопротивлениями противоположного знака (т.е. и индуктивности, и емкости) и имеющих в передаточной характеристике пару комплексно-сопряженных полюсов. Простейшим звеном 2-го порядка может служить колебательный контур, показанный на рис. 4.35, а.

Звено 2-го порядка

Рис. 4.35. Звено 2-го порядка:

а — схема; б — координаты полюсов передаточной функции Записав соотношение выходного и входного гармонических напряжений одной частоты, определим передаточную функцию этого звена:

где — резонансная частота; а0 = 1/(27?С) — коэффициент зату

хания.

Решая уравнение находим полюсы функции К(р):

где • — частота свободных колебаний в контуре.

Простой анализ соотношений между резонансной частотой сор и коэффициентом затухания а() показывает, что полюсы (рис. 4.35, б) могут быть как вещественными (оор = а0), так и комплексно-сопряженными (сор ^ а0).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >