Цифровые фильтры

Цифровым фильтром называют цифровое вычислительное устройство, преобразующее последовательность отсчетов {u(kAt)} = {иТ} = {мД входного сигнала в последовательность отсчетов {у(kAt)} = {г/ц} = к} выходного сигнала: {щ) => {у,}.

Пусть последовательность чисел {иД массив отсчетов входного сигнала u(t), взятых с интервалом дискретизации At. Выходным сигналом фильтра будет последовательность отсчетов к}. Для описания реакции цифрового фильтра па входное воздействие в виде дискретной последовательности чисел используют его импульсную характеристику {h{k~t)} = {hk} = hk. Из теории цифровых фильтров известно, что импульсная характеристика представляет собой дискретную последовательность чисел, являющуюся его реакцией на «единичный импульс» — дискретизированную дельта-функцию 8(kAi) = 8к (в цифровом представлении это 1, 0, 0, 0,...):

Дискретизированную дельта-функцию обозначают как и называют цифровой дельта-фуикцией или функцией Кронекера (рис. 6.17).

Цифровая дельта-функция

Рис. 6.17. Цифровая дельта-функция

Дискретный сигнал можно разложить в сумму таких функций, сдвинутых во времени. Например, бесконечный сигнал и{п) представим в виде

где 5„ — базисные функции, a u{k} — коэффициенты в линейной комбинации.

Если в последней формуле зафиксировать любое п, то получим тождество и{п) = ип} х 1, так как все остальные члены суммы обратятся в нуль, поскольку дельта-функция отлична от нуля только в нуле.

Импульсную характеристику hk цифрового фильтра можно трактовать как результат дискретизации по теореме отсчетов непрерывной импульсной характеристики h(t) соответствующего аналогового линейного фильтра. В дискретных и цифровых фильтрах импульсные характеристики могут иметь конечное и бесконечное число отсчетов (рис. 6.18).

Импульсные характеристики цифровых фильтров с числом отсчетов

Рис. 6.18. Импульсные характеристики цифровых фильтров с числом отсчетов:

а — конечным; б — бесконечным

Оказывается, зная 1г{п} (отклик системы на дельта-функцию), можно вычислить отклик системы на любой входной дискретный сигнал. Действительно, поскольку любой входной сигнал является линейной комбинацией сдвинутых во времени дельта-функций, то выходной сигнал будет той же самой линейной комбинацией сдвинутых во времени функций h{n}. Это следует из линейности системы и ее инвариантности к сдвигу во времени.

Рассмотрим действие цифрового фильтра с простейшими алгоритмом фильтрации и импульсной характеристикой с небольшим числом отсчетов (рис. 6.19). Положим, что входная последовательность {г/Д из четырех единичных отсчетов и0, uv щ, и3 сигнала u(t) подается на вход фильтра с импульсной характеристикой {йш}, имеющей отсчеты h{) = 1,5; h{ = 1; h2 = 0,5 (рис. 6.19, а, в). В результате на выходе фильтра возникает последовательность отсчетов {г/Д. При воздействии первого отсчета сигнала щ = 1 на выходе фильтра формируется последовательность откликов, определяемых его импульсной характеристикой. Таких отсчетов будет три: 1,5; 1; 0,5 (рис. 6.19, в). Эта последовательность опишется формулой ujim.

Воздействие второго отсчета их = 1 приведет к появлению на выходе фильтра последовательности еще трех откликов 1,5; 1; 0,5 (рис. 6.19, г), которые аналитически можно выразить как uxhm_{.

Цифровая фильтрация

Рис. 6.19. Цифровая фильтрация:

а — входной сигнал; б — импульсная характеристика; в — е — отклики на 0-й, 1-й, 2-й и 3-й входные отсчеты; ж — выходной сигнал

Подобная картина будет иметь место и при отклике цифрового фильтра на воздействие остальных отсчетов входной последовательности (рис. 6.19, де). В результате прохождения всего входного сигнала на выходе цифрового фильтра с импульсной характеристикой hm создастся сумма откликов 1,5; 2,5; 3; 3; 1,5; 0,5 (рис. 6.19, ж). Общее выражение для выходных отсчетов примет вид

Соотношение (6.30) и определяет алгоритм линейной цифровой фильтрации во временной области. Этот алгоритм показывает, что выходная последовательность представляет собой дискретную свертку входного сигнала с импульсной характеристикой цифрового фильтра. Импульсную характеристику цифрового фильтра hm называют ядром свертки, а число отсчетов т — длиной ядра свертки.

Полное число выходных отсчетов при этом составляет N = т + k - 1. Отметим очевидное: для физически реализуемых цифровых фильтров коэффициенты h ,, h 2,... импульсной характеристики обращаются в нуль.

Системная (передаточная) функция цифрового фильтра. С помощью метода 2-преобразования удается определить важные характеристики цифрового фильтра. Положим, что дискретным входному {uk} и выходному {у,} сигналам и импульсной характеристике цифрового фильтра {hk} соответствуют 2-преобразования U(z), Y(z) и H(z). Поскольку выходной сигнал фильтра есть свертка входного сигнала с импульсной характеристикой, то согласно формуле (6.29) 2-преобразованию выходного сигнала отвечает функция

Системная функция, или функция передачи дискретной системы, является отношением 2-преобразования выходного сигнала к 2-преобразованию входного сигнала и связана с импульсной характеристикой следующим образом:

Данная функция играет для цифрового фильтра ту же роль, что и передаточная функция для аналогового фильтра. Отметим, что задержка по времени входного сигнала на один отсчет приводит к умножению функции II(z) наг"1.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >