Парадигмы математики

Царицей всех наук в XIX в. остается математика. Именно в этой отрасли происходят наиболее драматические изменения. Большие успехи в развитии математики были достигнуты через решение прикладных задач естествознания и техники, но именно развитие и совершенствование аппарата позволило математике выйти на новые рубежи. В работах О. Коши (1789-1857), Б. Больцано (1781- 1912), Н. Абеля (1802-1829), К. Вейерштрасса (1815-1897) на основе углубленной теории пределов было достигнуто строгое обоснование математического анализа, что в свою очередь спосооствовало расширению области его применения. В трудах Коши, Римана и Вейер- штрасса было осуществлено систематическое развитие общей функции комплексного числа, сыгравшее большую роль в сфере аэродинамики, гидродинамики и электротехники. У. Гамильтон (1805— 1865) и Г. Грасман (1809-1877) разработали новую математическую дисциплину — векторное исчисление, без которого немыслимы современная механика и физика. Гаусс создал математическую геодезию, изучающую формы земной поверхности, что привело его к разработке универсальных дифференциально-геометрических методов исследования криволинейных поверхностей. Но главная область математического творчества в XIX в. — чистая математика. Ведущей фигурой в этой области становится университетский профессор, в силу своей специальности склонный к высокой дисциплине ума, строгости доказательств, логичности и нетерпимости к неясностям и недоговоренностям в науке.

Наиболее выдающаяся роль выпала на долю уже упомянутого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса, директора астрономической обсерватории и профессора Геттингенского университета. Его жизнь —каскад замечательных достижений. В своей докторской диссертации он дал первое строгое доказательство так называемой основной теоремы алгебры —о том, что каждое математическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один корень (и следовательно, корней столько, сколько единиц в показателе степени). Впоследствии он нашел еще два доказательства этой теоремы.

Книга Гаусса «Арифметические исследования» (1801 г.) настолько обогатила теорию чисел, что работа стала оцениваться как начало современной теории чисел. В 1812 г. в статье о гипергеометрических рядах он дал первое систематическое исследование сходимости рядов. В период 1825-1831 гг. он с помощью разработанного им нового метода, опирающегося на теорию комплексных чисел, проводит ряд исследований по биквадратичным вычетам. Публикация их результатов «навсегда изгнала ту таинственность, которая окружала комплексные числа, введя их представления с помощью точек на плоскости»[1]. И вообще, по мнению математика Никола Бурбаки (это имя — коллективный псевдоним группы французских математиков), теория алгебраических чисел ведет свое начало от работ Гаусса[2]. В опубликованных посмертно дневниках Гаусса обнаружились и другие его математические открытия и разработки (так, оказалось, что еще в 1800 г. он открыл эллиптические функции, а около 1816 г. овладел неевклидовой геометрией).

Значительное место в истории математики XIX в. заняла Политехническая школа во Франции — такие ее корифеи, как С. Пуассон (1781-1840), Ж. Фурье (1768-1830) и О. Коши (1789-1857). Фурье, в частности, доказал, что всякая произвольная функция может быть представлена тригонометрическим рядом, Коши выяснил, при каких условиях функция может допускать интегрирование, точно установил понятие определенного интеграла, создал исчисление показателей, разработал понятие об определенном интеграле с мнимыми пределами. Среди других математиков XIX в. нельзя не упомянуть Эвариста Галуа (1811-1832) и Георга Римана (1826-1866). Теория Галуа, устанавливая описание расширений полей в терминах групп, сводит вопросы, касающиеся полей, к вопросам теории групп, возникшей именно отсюда. Имя Римана связано с таким драматическим для математики XIX в. событием, как открытие неевклидовых геометрий.

Еще Гаусс выражал сомнение в том, что пространство и время, как утверждал Кант, являются априорными формами опыта и как таковые допускают одну-единствеиную геометрию — Евклидову. Но первым публично изложил подобные взгляды профессор Казанского университета Н. Лобачевский (1792-1856). После многих неудачных попыток доказать пятый постулат (о параллельных прямых) геометрии Евклида, слишком сложный, чтобы быть аксиомой, Лобачевский разделил все содержание геометрии на две части: абсолютную и относительную геометрии. Совокупность предложений геометрии, которые для своего доказательства не нуждаются в пятом постулате, получили название абсолютной геометрии. В 1826 г. он представил доклад «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», а в 1828-1830 гг. опубликовал труд «О началах геометрии». Эта работа содержит изложение созданной им неевклидовой геометрии и уравнения, позволяющие дать аналитическое и дифференциальное ее изложение. Двумя годами позже венгерский математик Янош Больяи (1802- 1860) также пришел к идеям неевклидовой геометрии, изложив их в небольшой работе «Абсолютная наука о пространстве».

Сначала работы Лобачевского и Больяи не встретили сочувствия в научном сообществе. Признание пришло только с выходом в свет работы Римана «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», где он дал общее определение пространства «многообразия», включая функциональные и топологические пространства и рассматривая геометрию как учение о непрерывных N-мерных многообразиях. Рассмотрев более подробно так называемые «римановы пространства», обобщающие пространства геометрии Евклида, Лобачевского и собственной «эллиптической геометрии», Риман развил учение о кривизне пространства. Обращаясь к вопросу о физическом пространстве, он поставил проблему относительности геометрии к масштабам пространства и свойствам материи.

  • [1] Стройк И.Д. Краткий очерк истории математики. С. 181.
  • [2] Бх/рбаки И. Очерки по истории развития математики. М., 1963. С. 70- 71.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >