Учет нелинейности в моделях управления запасами.

На практике достаточно часто встречается случай, когда продавец вводит систему скидок в зависимости от количества единовременно закупаемого товара, которую принято называть скидкой на размер заказа (quantity discount). Продавец в отличие от покупателя заинтересован в продаже (сбыте, отгрузке) не оптимальной (с позиции покупателя), а максимально возможной партии товара. Это позволяет ему снижать часть своих издержек по содержанию запаса, ускоряет оборот, увеличивает прибыль и т.п. Для того чтобы заинтересовать покупателя в увеличении размера заказа, продавец устанавливает систему скидок с базисной цены, которые обычно пропорциональны объему заказа.

Поскольку уровень цены во многом определяет общие затраты по формированию и содержанию запаса покупателя, это будет самым существенным образом влиять на его оптимальные решения. При наличии скидок цена закупаемого товара будет уже переменной величиной, описываемой кусочно-линейной функцией. Скидки с цены в связи с размером заказа являются, как правило, ступенчатой функцией, и поэтому часто эту модель называют «моделью со ступенчатой ценой» (price-break models). Возможное изменение цены при наличии скидок на размер заказа при его увеличении (более Q2 и более Q2) показано на графике (рис. 9.7).

Зависимость цены от увеличения размера заказа

Рис. 9.7. Зависимость цены от увеличения размера заказа

Очевидно, что предоставление скидок будет влиять на общие затраты покупателя по формированию и содержанию запаса.

Наличие скидок выгодно для определенного интервала размера заказа, так как значительное увеличение размера заказа потребует от покупателя дополнительных затрат. На рис. 9.8 изображены три кривые общих годовых затрат, каждая из которых соответствует определенной закупочной цене продукта. Однако реально в расчет следует принимать лишь некоторую часть каждой из этих кривых, соответствующую диапазону размера заказа, где действует скидка.

Принципиальная схема решения такой задачи сводится к нахождению локальных оптимумов в каждом ценовом интервале и включает следующие этапы.

Влияние на общие затраты по формированию и содержанию запаса двух скидок на размер заказа

Рис. 9.8. Влияние на общие затраты по формированию и содержанию запаса двух скидок на размер заказа

1. Определяются оптимальные размеры заказа (Qp в каждом j-м ценовом интервале. При этом могут возникнуть три варианта для выбора локального оптимума:

где QPac4* - оптимальное значение размера заказа в j-м ценовом интервале; qj11" и q™ax — соответственно минимальные и максимальные количественные (объемные) границы j-ro диапазона действия скидки на размер заказа.

2. Далее подсчитываются общие годовые затраты по формированию и содержанию запаса для каждого ценового интервала при выбранном Q*, для чего можно использовать формулу:

где кд — коэффициент снижения переменных затрат (цены) в j-м стоимостном (ценовом) интервале; С — базовая цена закупаемого материального ресурса (товара).

3. Выбирается оптимальное решение по критерию минимума общих годовых затрат: ->min.

Другой часто встречаемый на практике случай связан с нелинейностью издержек хранения, когда они изменяются ступенчато в зависимости от размера запаса (емкости занимаемого склада). Такая зависимость затрат по хранению от размера запаса приведена на рис. 9.9.

Ступенчатое изменение издержек по содержанию запаса в зависимости от его размера (емкости склада)

Рис. 9.9. Ступенчатое изменение издержек по содержанию запаса в зависимости от его размера (емкости склада)

Если обозначить через h0 дополнительные затраты (амортизация, аренда и проч.) на складскую площадь (ячейку, стеллаж, секцию, склад) при емкости Qo, то издержки по содержанию запасов можно выразить так:

где Q0 — емкость дополнительной складской площади.

Далее схема реализации задачи осуществляется в том же порядке, что и в случае возможных скидок на размер заказа.

Модели ограниченной вместимости склада. Теория запасов предлагает и математически более строгие подходы к реализации моделей, предусматривающих ограничения на вместимость (объем) склада.

В книге известного польского экономиста О. Ланге[1] рассматривается однопродуктовая модель, в которую вводится дополнительное ограничение на вместимость склада (F), т.е. должно соблюдаться условие:

Данная модель реализуется с помощью метода множителей Лагранжа1. Представив функцию годовых затрат по формированию и содержанию запаса в виде функции Лагранжа, нетрудно убедиться, что она будет достигать своего минимума при условии, если

где X — множитель Лагранжа.

В этом случае оказывается, что если складские мощности фирмы недоиспользуются (Q < F), то X = 0 и формула (9.67) оптимального размера партии сводится к модели EOQ, а ограниченность вместимости склада не имеет практического значения. Если же складские площади загружены полностью (Q = F), то X > 0 и это воздействует на оптимальный размер заказа в том отношении, что удельные издержки хранения запаса как бы возрастают на величину 2Х. Таким образом, величина выступает как оценка балансового ограничения (9.66), т.е. является экономической оценкой ограниченной вместимости склада.

В этом случае будет определять размеры дополнительной оплаты единицы запаса, хранимого фирмой на арендуемых складских площадях, а ее оптимальную величину можно вычислить следующим образом:

Поскольку однопродуктовые модели имеют ограниченное применение, то практический интерес представляют многопродуктовые модели управления запасами. Один из многочисленных вариантов таких моделей рассматривается в книге Дж. Хедли и Т. Уайтина[2] [3]. Предположим, что на складе хранится п видов материальных ресурсов и что для i-ro вида материалов требуется/; кв. м складской площади. Тогда для случая, когда все требования (производственный спрос) должны удовлетворяться из запаса, т.е. дефицит не допускается, и ограничение на площадь склада нельзя нарушать, должно выполняться неравенство

Так же как и в случае рассмотренной выше однопродуктовой модели, для ее реализации используется метод множителей Лагранжа. Отличительной особенностью здесь является то, что при поиске минимума функции общих затрат по формированию и содержанию запаса необходимо решить систему из двух уравнений. Дж. Хедли и Т. Уайтин показали, что такая система уравнений имеет единственное и, следовательно, оптимальное решение

Задача минимизации общих затрат, когда назначается стоимость, а не верхний предел складской площади, является двойственной задачей минимизации при использовании ограничения (9.69), когда дополнительная плата за арендуемый склад не взимается.

Случай дискретного спроса. Рассмотренные выше детерминированные модели оптимального размера заказа, включая классическую модель запасов и ее модификации, предполагали непрерывность расхода материального ресурса из запаса, т.е. непрерывный характер выходного потока. В большинстве случаев такая идеализация реальных хозяйственных ситуаций вполне допустима, так как средняя интенсивность выходного материального потока относительно невелика по сравнению с разовыми объемами поставок или партий производимой продукции.

Однако предположение о непрерывности производственного спроса (выходного потока) уже не будет справедливым в случае так называемых «медленно оборачивающихся запасаемых объектов»[4] или в случае, когда в качестве единицы времени в системе управления запасами выбран достаточно продолжительный период (например, неделя, декада или даже месяц). В этом случае модель EOQ уже не будет справедлива, но может быть адаптирована и к условиям дискретного спроса.

Условия дискретного спроса достаточно часто встречаются в практической деятельности и поэтому, естественно, не могли быть игнорированы в теории запасов, о чем, в частности, свидетельствует специальная литература. Рассмотрим такую задачу на примере детерминированных условий, для которых изменение величины текущего запаса при дискретном спросе будет характеризоваться ступенчатым графиком (рис. 9.10).

Изменение величины текущего запаса в условиях дискретного характера спроса (выходного потока)

Рис. 9.10. Изменение величины текущего запаса в условиях дискретного характера спроса (выходного потока)

Содержание такой задачи сводится к следующему. Предположим, что на планируемый период Т^, который состоит из п, временных отрезков tm, прогнозируется спрос на материальный ресурс в размере В. Причем величина спроса является равномерно распределенной, т.е. в каждом отрезке времени t его величина в среднем составляет Ь. Требуется определить размер заказа Q, который минимизировал бы общие затраты и удовлетворял бы спрос на к периодов t, причем к — целое число. Тогда для принятых условий будут справедливы следующие равенства:

где п — число поставок за планируемый период.

В такой постановке задача будет справедлива для медленно оборачивающихся объектов (запчасти, инструмент, инвентарь и проч.), и, по существу, в ней требуется определить целое число к.

Для заданных условий среднюю величину запаса за период поставки в специальной литературе рекомендуется определять по формуле

Далее методика определения оптимального размера заказа (или определения коэффициента кратности к) полностью совпадает с выводом формулы Уилсона. Однако при этом в большинстве публикаций игнорируется период хранения запаса, что, по нашему мнению, ведет к неправильным результатам.

Так, при анализе такой модели в книге У. Черчмена, Р. Акоффа и Л. Арнофа1 авторы выводят формулу, где под знаком квадратного корня присутствует коэффициент, представляющий разность действительного числа и процента затрат на содержание запаса. Какого-либо экономического смысла эта разность не имеет, и поэтому дополнительное ограничение на затраты вызывает сомнение в правильности модели оптимального заказа в целом. Такое положение вызвано не только игнорированием продолжительности периода хранения запаса, но и тем, что авторы неправомерно путают дискретный характер расхода запаса с непрерывным, на что в примечаниях обращает внимание даже переводчик данного, в целом весьма достойного и интересного, издания. В результате неточности оценки среднего запаса по выражению (9.72) возникает систематическая ошибка, которая и приводит к весьма сомнительному результату.

Более изящный подход к рассматриваемой задаче продемонстрирован в книге Ф. Хэнссменна[5] . Базируясь на оценке среднего размера запаса по формуле (4.10) и также пренебрегая периодом хранения запаса, автор получает выражение для определения оптимального к:

  • 2
  • 9.5. Методы нормирования и оптимизации страхового запаса _
  • 161

где h — затраты по содержанию единицы запаса за период Г.

Отсюда нетрудно определить и оптимальный размер заказа, который будет

Таким образом, в идеальных условиях и при принятых допущениях модель дискретного спроса также сводится к классической модели запасов, а учет особенностей потребления запаса осуществляется с помощью поправочного коэффициента.

Строгое обоснование идеальной модели дискретного спроса, но только для частного случая, представлено в книге Дж. Хедли и Т. Уайтина1. Здесь подразумевается единичный расход материального ресурса за временной отрезок г. В результате корректных математических выкладок авторы монографии приходят к выводу, что Q’ является наибольшим положительным значением Q, для которого выполняется соотношение:

В случае, когда единицей по сравнению с Q можно пренебречь, то получается классическая модель управления запасами, т.е. Q*=EOQ. Однако и в этом случае в качестве оценки среднего размера запаса за период хранения была использована формула (9.72), что также ведет к систематической ошибке определения затрат по содержанию запаса.

  • [1] Ланге О. Оптимальные решения : пер. с польск. М. : Прогресс,1967. С. 208—210.
  • [2] Назван по имени Лагранжа (Lagrange) Жозефа Луи (1736—1813) —французского математика и механика, почетного члена Петербургской академии наук (1776 г.).
  • [3] Хедли Дж., Уайтин Т. Указ. соч. С. 72—74.
  • [4] Хэнссменн Ф. Применение математических методов в управлении производством и запасами : пер. с англ. М.: Прогресс, 1966. С. 30.
  • [5] Черчмен У., Акофф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций :пер. с англ. М.: Наука, 1968. С. 140—143.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >