Приемы вычисления значений произведений и частных

Вопросы для обсуждения

  • 1. В чем значимость овладения учащимися устными приемами умножения и деления?
  • 2. Каковы связи приемов вычисления произведений и частных с нумерацией чисел?
  • 3. Каковы средства и способы обучения приемам умножения и деления?
  • 4. В чем связи приемов сложения и вычитания с приемами умножения и деления?
  • 5. Каковы связи деления «углом» с делением с остатком?
  • 6. В чем трудности овладения умениями делить «углом»?
  • 7. В чем причины ошибок при делении «углом» и каковы способы их предупреждения?

Основу всех вычислительных приемов умножения и деления составляют знания нумерации (разрядный состав чисел), таблиц сложения и умножения, свойств арифметических действий.

Приемы устного умножения и деления, которые сводятся к выполнению вычислений в пределах таблицы умножения, — это вычисления произведений и частных чисел, состоящих из целого числа разрядных единиц, т.е. чисел однозначных, либо чисел, оканчивающихся нулями. Например, произведения вида 6 • 20, 30 ? 50, 700 • 4, 200 • 300 и т.п. и вычисления частных вида 60/3, 420/70, 9000/300 и т.п.

Обоснование умножения целого числа десятков на однозначное число может быть таким: 2 дсс. • 3 равно 6 дес., аналогично 2 сот. -3 = 6 сот., 2 тыс. -3 = 6 тыс. Такого рода рассуждение может привести к неверному заключению о равенстве 6 десяткам произведения 2 дес. • 3 дес. Ассоциативность умножения позволяет обосновать следующий прием:

20 • 30 = 20 • (3 • 10) = (20-3) • 10 = 60-10 = 600,

т.е. 6 сотен (6 десятков десятков) или 60 десятков. В таблице разрядов показана запись соответствующим числом разрядных единиц данного произведения, которая читается так: произведение 20 • 30 единиц равно 60 десяткам, 6 сотням, 600 единицам, или 2 дес. • 3 дес. = 60 дес. = 6 сот.

Аналогично определяется произведение 2 • 300:

Умение определять число единиц каждого разряда, а также знание того, что 2 десятка — это 2 • 10,2 сотни — это 2 • 100, или 2 • 10 • 10, 2000 — это 2 • 1000 = = 2 • 10 • 10 • 10, приводит к заключению: при умножении чисел, оканчивающихся нулями, надо перемножить числа, предшествующие нулям на конце записи, и приписать столько нулей, сколько их в обоих множителях. Так,

В учебнике по системе Б. Л- Эльконина — В. В. Давыдова предлагаются задания вида[1]:

  • • вычисли без калькулятора 74 • 6 + 74 • 4 (вычисление основывается на нестандартном для школы применении дистрибутивности умножения относительно сложения, основанном на симметричности отношения равенства);
  • • представь числа в виде произведения двух множителей разными способами 4200 = 7 • 600 = 70 • 60 = 700 • 6;
  • • представь число 3600 в виде произведения двух множителей, один из которых равен 9;
  • • назови только число десятков в произведении 27 • 3.

Устные приемы вычисления произведений двузначного числа на однозначное основываются на свойстве дистрибутивности (распределительности) умножения относительно сложения. Например, произведение 34 • 8 вычисляется так:

34 • 8 = (30 + 4) • 8 = 30 • 8 + 4 • 8.

Прием обобщается в виде следующего правила.

Чтобы умножить двузначное число на однозначное можно представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых и воспользоваться распределительным свойством умножения.

Н. Б. Истомина[2] предлагает следующие виды упражнений, способствующих усвоению данного приема:

  • • запиши выражение (30 + 6) • 3 в виде произведения двух множителей;
  • • объясни, как вычислить произведение 27 • 4;
  • • вставь знаки арифметических действий, чтобы получилось верное равенство: (9 + 8) • 3 = 9 ... 3 ... 8 ... 3.

Частное вида 600/3 вычисляется приемом, основанным на рассуждении: частное от деления 6 сотен на 3 равно 200, так как произведение 3 • 200 равно 600. Такое же рассуждение, основанное на определении деления, позволяет вычислять частные 8 000 000/400. Частное от деления 8 миллионов на 4 сотни равно 20 тысячам, так как произведение 400 • 20 000 = 8 000 000.

Для вычисления значения частного от деления двузначного числа па однозначное в методике разработан прием, основанный на представлении делимого в виде суммы и применения правой дистрибутивности деления относительно сложения, которое чаще называется просто распределительным свойством деления относительно сложения. Например, 96/8 = (80 + 18)/8.

Частное от деления двузначного числа на двузначное вычисляется способом подбора. Например, чтобы найти частное 76/19, находим последовательно произведения 19 на 2, 3 и т.д., сравнивая их с делимым до тех пор, пока не получим в произведении 76. Так как 19 • 4 = 76, то 4 есть значение частного 76/19.

Прием основан на определении деления и потому является универсальным, в силу чего может применяться всегда. Например, частное 1102/29 можно найти, подбирая его прикидкой возможного результата. Подбор начинаем с 30, так как 110/29 приблизительно 3, получаем: 29 • 30 = 870 < 1102, далее 29 умножаем на 38, так как последняя цифра делимого 2, а единственное число, которое оканчивается 2 при умножении на 9 это 8. Произведение 29 • 38 = 1102. Значит, 1102/29 = 38. Такой способ служит не только пропедевтикой подбора частного при делении «углом», но и формирует необходимое умение приближенно оценивать результат вычислений, значит, является методом контроля и самооценки.

Письменные приемы умножения «в столбик» осваиваются, начиная с умножения многозначного числа на однозначное. Например, произведение 2132 • 3 вычисляется на основе представления первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых и дистрибутивного свойства умножения относительно сложения:

2132-3 = 2000-3 + 100-3 + 30-3 + 2-3 = 6000 +300 + 90 + 6 = 6396.

Эти вычисления можно записать кратко «в столбик».

Некоторые методисты считают необходимой дополнительную запись, предваряющую запись в столбик:

При записи «в столбик» обращается внимание:

  • 1) на разряды вычисляемых произведений и их записи под соответствующим разрядом первого множителя;
  • 2) на то, что вычисления начинаем с разряда единиц;
  • 3) на то, что выполнение правильной записи необходимое условие правильности вычисления;
  • 4) на то, что всегда находим произведения однозначных чисел.

Эти наблюдения дети могут сделать сами, если соответствующие вопросы будут заданы.

Далее рассматриваются случаи с переходом через разряд и умножение на двузначные и трехзначные числа. Так, при умножении 426 на 3 в разряде единиц записываем 8, а 1 десяток запоминаем, чтобы прибавить его к произведению 2 на 3. Особые случаи: в произведении появляется еще один разряд; в множителях имеется 0 единиц какого-либо разряда. Как считает Н. Б. Истомина, комментируя действия выполнения умножения «в столбик», целесообразно ввести понятия: первое (второе) неполное произведение. Полезным упражнением является задание: используя умножение «в столбик», найди значения выражений[3]:

Алгоритм письменного деления, как правило, усваивается детьми со значительными трудностями. Эти трудности обусловливаются объективными причинами. Необходимые при выполнении деления «углом» действия: деление с остатком; прикидка результата деления и умножения; последовательное вычитание сами по себе достаточно сложны.

Деление с остатком многозначных чисел полезно рассматривать независимо от появления такой задачи в процедуре деления «углом». Например, решая задачи вида: найти частное и остаток при делении 318/23. Известный детям способ состоит в подборе такого числа, которое при умножении на 23 дает максимально близкое к 318 число, не превышающее его. Естественно попробовать число 15 (300 разделить на 20 равно 15), произведение 23 • 15 = 345 >318. Пробуем число 14, произведение 23 • 14 = 322 >318. Пробуем 13. Получаем 23 • 13 = 299 < 318, значит, 13 — искомое частное. Вычитаем 299 из 318, получаем 19 — это остаток, так как 19 < 23. Проверяем: 23 * 13 -н 19 = 318.

Отдельно рассматривается случай, когда делимое меньше делителя. Например, делим с остатком 23/56, получаем 0 в частном и 23 в остатке. Проверяем: 56 • 0 + 23 = 23. Выполнение нескольких различных заданий такого вида приводит к индуктивному заключению: если делимое меньше делителя, то частное 0, а остаток равен делимому.

Те же действия отрабатываются при записи деления «углом». Например, 644/26. Здесь ситуация несколько проще, так как подбор частного нужно разбить на два этапа: сначала делим число десятков в делимом, затем оставшиеся неразделенными единицы в соответствии с правой дистрибутивностью деления:

Так как 640 — это 64 десятка, то при делении 64 десятков на 26 получаем 2 десятка в частном и 12 десятков в остатке. Неразделенными оказываются 12 десятков и 4 единицы, всего 124 единицы, которые делим на 26. Получаем 4 единицы в частном и в остатке 20. Запись этих действий в столбик и проверка:

Проверка: 20 < 24, 26 х 24 + 20 = 624 + 20 = 644.

Наиболее распространенная ошибка при делении «углом» — пропуск нулей в частном, особенно если нуль оказывается последней цифрой частного. Так, рассмотрим деление

Делим 163 тысячи на 54, получаем 3 тысячи в частном и 1 тысячу в остатке. Остались неразделенными 10 сотен. 10 сотен делим на 54, получаем 0 сотен в частном и 10 сотен в остатке. Неразделенными остались 108 десятков, которые при делении на 54 дают 2 десятка в частном и 0 в остатке. Остались неразделенными 7 единиц. При делении 7 единиц на 54 получаем 0 в частном и 7 единиц в остатке.

Проверка: 7 < 54, 3020 • 54 + 7 = 163 080 + 7 = 163 087.

Задания для самостоятельной работы

  • 1. Проанализируйте приемы устного умножения в системе обучения «Школа России». Подготовьте презентацию.
  • 2. Проанализируйте приемы устного деления и последовательность их изучения в системе обучения «Школа России». Подготовьте презентацию.
  • 3. Проанализируйте приемы устного деления в системе обучения «Школа 2100». Приведите теоретические обоснования каждого приема. Подготовьте презентацию.
  • 4. Сконструируйте фрагмент урока на тему «Умножение двузначного числа на однозначное» в системе обучения «Школа России». Составьте задания, актуализирующие знания, необходимые для полноценного восприятия нового материала. Подготовьте сообщение.
  • 5. Составьте систему упражнений, цель которых — усвоение приемов устных вычислений произведений чисел, оканчивающихся нулями. Приведите рассуждения, обосновывающие действия, входящие в прием. Подготовьте сообщение.
  • 6. Сконструируйте фрагмент урока на тему «Умножение многозначного числа на однозначное». Составьте задания, направленные на закрепление умений использовать данный алгоритм. Подготовьте сообщение.
  • 7. Сконструируйте фрагмент урока, на котором вы познакомите учащихся с записью умножения «в столбик» чисел, оканчивающихся нулями. Подготовьте сообщение.
  • 8. Составьте систему упражнений, выполняя которые учащиеся овладевают умением выполнять деление с остатком. Подготовьте сообщение.
  • 9. Опишите последовательность обучения письменному делению в системе «Школа России». Подготовьте сообщение.
  • 10. Обоснуйте последовательность, в которой целесообразно рассматривать следующие вопросы:
    • • вычислительный прием деления двузначного числа на однозначное;
    • • вычислительный прием двузначного числа на двузначное;
    • • вычислительный прием умножения двузначного числа на однозначное.
  • 11. Объясните, с какой целью учитель предложил задание: из чисел 56, 82, 92, 64,86,60,72 выберите те, которые можно представить в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Подготовьте сообщение.
  • 12. Приведите доказательство равенства значения произведения 125 * 3 значению суммы 120-3 + 5-3, не вычисляя их значений. С какой целью вы могли бы предложить это задание учащимся? Подготовьте сообщение.
  • 13. Перечислите знания и умения, необходимые для выполнения умножения «в столбик». Подготовьте сообщение.
  • 14. Какова причина ошибок при умножении многозначного числа на однозначное «в столбик», если в первом множителе имеются разряды, количество единиц в которых равно нулю? Подготовьте сообщение.
  • 15. Как вы могли бы научить детей делить с остатком методом подбора, используя прикидку возможного частного? Подготовьте сообщение.
  • 16. С какой целью учитель предложил детям сравнить следующие записи.

Подготовьте сообщение.

  • 17. Какую схему (запись на языке знаков-индексов) вы могли бы предложить для раскрытия смысла деления с остатком? Подготовьте презентацию.
  • 18. С какой целью учитель предложил выполнить деление: 84/7,85/7,86/7,87/7, 88/7, 89/7, 90/7, 91/7,92/7? Подготовьте сообщение.
  • 19. Выпишите действия, которые необходимо произвести, чтобы выполнить деление 7245/57. Подготовьте сообщение.

  • [1] Математика. 2 класс / В. В. Давыдов [и др.]. М.: МИРОС, 1995. С. 220, 221, 232, 247.
  • [2] Истомина II. Б. Методика обучения математике в начальных классах : учеб, пособие.М.: Академия, 2002. С. 109.
  • [3] Истомина II. Б. Методика обучения математике в начальных классах : учеб, пособие.М.: Академия, 2002. С. 130.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >