МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ АЛГЕБРЫ

В процессе изучения материала данной главы студенты должны:

знать

• определения алгебраической бинарной операции; обратной операции; арифметического выражения и его значения; свойств операций сложения, умножения, вычитания и деления; буквы как переменной с определенной областью значений; тождественного преобразования выражения;

уметь

• решать методические задачи формирования представлений о связях и зависимостях между компонентами действий, о порядке действий в арифметическом выражении, об уравнениях и способах их решения;

владеть

  • • алгебраической терминологией;
  • • умениями проектировать познавательную деятельность детей но овладению начальными алгебраическими понятиями;
  • • методическими приемами, способствующими развитию рационального мышления.

Формирование представлений об арифметических выражениях, равенствах, неравенствах, уравнениях

Вопросы для обсуждения

  • 1. Почему учителю необходимо знать математику на уровне, выходящем за пределы школьного учебника?
  • 2. В чем значение алгебраических знаний для младшего школьника?
  • 3. Каковы типичные терминологические ошибки, допускаемые учителями? Каковы перспективы их предупреждения?
  • 4. Как можно истолковать понятие «решение уравнения»?
  • 5. Как доказать истинность равенства? Неравенства?
  • 6. В чем достоинства и недостатки решения уравнений и неравенств методом подбора?
  • 7. В чем достоинства и недостатки решения текстовой задачи алгебраическим методом?
  • 8. Нужно ли младшему школьнику знать свойства арифметических действий?

С арифметическими выражениями, действиями с ними, равенствами и неравенствами младшие школьники имеют дело практически на каждом уроке математики. В первом классе дети овладевают умениями писать цифры, знаки действий, скобки, усваивая уже на этом этапе обучения, что числа, обозначаемые цифрами, — предмет действий, действия над ними, которые производятся по определенным правилам, обозначаются специальными знаками, результат действий над числами число. С первых шагов овладения символикой математического языка у детей формируются первоначальные представления о правильных и неправильных записях. Например, записи 3 +; - +; (+ 6 - 5) — неправильные, так как:

  • 1) арифметические действия производятся над двумя числами;
  • 2) знаки действий записываются между знаками чисел;
  • 3) если в записи более одного действия, то скобки показывают порядок действий, скобки обязательно образуют пары открывающих и закрывающих скобок в правильной записи поровну.

Выполнение задания: «Среди данных записей найдите арифметические выражения

2+7 - 9 + (5 - 3) + 8 (7 + 4) - 2 (9 - 5) + (4 - 3)»

способствует пониманию смысла записей на математическом языке, в том числе уяснению роли скобок как указателя порядка действий.

В первом классе записи, содержащие более одного действия, как правило, записываются без скобок. Они трактуются так: указанные действия выполняются в порядке их записи. Такой подход сокращает запись, но не способствует пониманию сути бинарной операции, а в дальнейшем затрудняет не только усвоение правил порядка действий, но и свойств арифметических операций. Более отвечающим сути дела были бы записи, в которых первоначально записывались бы все скобки, показывающие порядок действий кроме внешних, и только впоследствии, когда назначение скобок вполне усвоено, некоторые из них с целью сокращения записи и удобства ее восприятия опускались бы в согласии с общей договоренностью. Безусловно, записи без скобок упрощают их восприятие, но не объясняют необходимость введения правил порядка действий, и затрудняют усвоение умений производить тождественные преобразования, умений, являющихся одним из показателей математического развития.

В процессе перевода предложений арифметики с обыденного языка на математический и обратно, выявляется смысл математических знаков. Вместе с тем усваивается необходимая терминология. С этой целью могут быть предложены задания, запишите:

  • • сумму чисел 3 и 5;
  • • сумму произведения чисел 6 и 15 и числа 16;
  • • разность 23 и 15;
  • • разность 15 и 7, умноженную на 6;
  • • выражение, в котором уменьшаемое 20, вычитаемое 3;
  • • выражение, в котором делимое 200, делитель 20;
  • • частное суммы чисел 20 и 15 и разности чисел 12 и 7 и др.

При таком способе задания арифметических выражений их записи определяются грамматической структурой предложения.

Выполнение обратного задания «прочитай выражения, используя русские слова» стимулирует развитие математической речи. Например, прочитай выражения:

Вычислительные задачи часто формулируются в виде: реши пример. Несмотря на то что эго устоявшаяся форма, желательно ее избегать. Все- таки, пример (парадигма по-гречески) приводится, а не решается. Возможностей выразить по-русски задание на вычисление значения арифметического выражения немало:

  • • найди значение выражения (суммы, разности, произведения, частного);
  • • вычисли произведение суммы 52 и 7 на 12;
  • • увеличь разность 36 и 17 в 3 раза и т.н.

Если справа и слева от знака равенства стоят выражения, представляющие одно и то же число, то говорят, что равенство справедливо (истинное, имеет место, выполняется). В противном случае равенство неверно. Поэтому один из способов доказательства равенства — вычисление. Два выражения равны, если их значения совпадают и не равны в противном случае. Для некоторых выражений значение не существует. Например, не существует числа, равного 3/0 (на нуль делить нельзя), во множестве натуральных чисел не существует числа, равного 12-20. Равенство есть отношение эквивалентности, каждый класс эквивалентности по которому состоит из одного элемента. Другими словами, каждое число равно только самому себе.

Запись двух выражений, соединенных знаком «>» или «<», называется неравенством. Неравенство истинное (справедливое, имеет место, выполняется), если значения данных выражений находятся в указанном отношении и ложное — в противном случае.

Алгебра начинается с введением буквенных обозначений. Буква — это переменная, обозначающая любое число из некоторого известного множества. В УМК «Школа 2100» буквы вводятся уже при изучении чисел первого десятка. Так, задание[1]: «Сравни выражения, если возможно (>, < , =). Объясни выбор знака.

может выполняться двумя различными способами.

Первый способ основан на наблюдении над зависимостью сумм и разностей от значений компонентов, которые в вольной форме можно выразить так:

  • • если к числу прибавить больше, то больше получится (задание 2);
  • • при вычитании какого-нибудь числа получим меньше, чем при прибавлении этого же числа (задание 1);
  • • если вычесть больше, то получится меньше (задание 4);
  • • в задании 3 определить отношение между данными выражениями однозначно нельзя, при различных значениях переменных это отношение может быть любым.

Такое рассуждение достаточно сложно для первоклассника, но интуитивно он может догадаться о результате. Другой способ решения состоит в замене букв значениями из известного первокласснику множества чисел (в данном случае чисел первого десятка) и сравнении получаемых значений. В любом случае то или иное объяснение должно прозвучать на уроке, иначе не следует предлагать детям эту задачу.

В то же время не всякое использование букв в обучении математике означает введение элементов алгебры. Так, в курсе В. В. Давыдова с соавторами буквы в записи результата сравнения величин являются просто способом называния конкретной величины. Формированию представлений о букве как переменной с определенным множеством значений способствует решение, например, таких задач.

1. Заполни таблицу.

ь

8

5

4

12

9

12

7

9

12

10

Учитель обращает внимание детей на то, что буква b в выражении 12 - b может принимать значения от 0 до 12.

2. У Тани в книге b сказок. Ей подарили еще книгу, в которой 8 сказок. Сказок в обеих книгах стало больше 12. Сколько сказок могло быть в Таниной книге?

Рассуждение, в котором рассматриваются возможные варианты, таково: было b сказок, подарили 8, стало b + 8 сказок, и их больше 12. Сказок не могло быть 1, 2, 3 или 4, так как 1+8 = 9<12, 2 + 8 = 10 <12, 3 + 8 = = 11 < 12, 4 + 8 = 12, а 12 не больше 12. Значит, b может принимать значение 5, так как 5-г8 = 13>12, а также 6, 7, 8, 9 и т.д., но все же не любые, число сказок в книге не может быть как угодно большим.

3. Какие значения может принимать буква а в равенстве:

Заключить о том, что а может принимать любые значения, учащиеся могут, рассуждая дедуктивно. Так как, во-первых, складывать можно любые числа, во-вторых, от перемены мест слагаемых значение суммы не изменяется, то а может принимать любые значения.

Для дальнейшего изучения математики умение решать простейшие уравнения

важно, так как решение многих уравнений сводится к одному из них. Под уравнением понимается равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, значение которой требуется найти. Число называется решением или корнем уравнения, если замена буквы этим числом приводит к верному равенству. Способ поиска корня уравнения также называется его решением. Методические подходы к обучению решению уравнений, предлагаемые в различных УМК, различаются.

При традиционном подходе процесс решения строится на связи между компонентами действий, выражаемой правилами:

  • а) чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое;
  • б) чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое;
  • в) чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Аналогично для остальных трех уравнений. Так, равенство х + 23 = 50 — это уравнение. Неизвестное число, обозначенное буквой, — слагаемое, поэтому, согласно правилу, х = 50 - 23. Число 27 — корень уравнения, так как 27 + 23 = 50. С позиций семиотического подхода при этом реализуется обучение «от знака к смыслу» (см. параграф 1.3), овладение правилами действий со знаками открывает для учащихся возможность установить смысл понятия «корень уравнения», т.е. понимание того, что корень уравнения может быть найден подбором подходящего числа из множества значений переменной. Это понимание и необходимо для дальнейшего изучения математики.

Обучение решению уравнений методом подбора — это обучение от «смысла к знаку», так как опирается па смысл понятия «корень уравнения». При таком подходе поиск решения уравнения х + 23 = 50 сводится к поиску подходящего числа. Он может осуществляться различными путями. Рассуждением, какое число надо прибавить к 23, чтобы получить 50. Поиск ответа на данный вопрос приводит к выводу х = 50 - 23, так как разность 50 - 23 — эго число, сумма которого с 23 равна 50 (см. параграф 3.1.2).

Второй путь — путь непосредственного подбора подходящего значения, для чего проверяем, вообще говоря, произвольные числа, пока не найдем требуемое. Здесь уместна прикидка результата, вследствие чего учащиеся овладевают «чувством числа», что не менее важно, чем владение умением решать уравнения. С другой стороны, подбор может вызвать затруднения вычислительного характера.

Возможен подход, приемлемый для уравнений любого вида, основой которого служит то, что прибавление (вычитание) одного и того же числа к обеим частям равенства не меняет его истинностного значения (результат операции единственен), что при дальнейшем обучении усваивается как перенос числа в другую часть уравнения с противоположным знаком. С этих позиций уравнение х + 23 = 50 преобразуется так:

или

Насколько такой способ приемлем в конкретной образовательной среде, решать учителю.

Умения решать уравнения раскрывает свое значение тогда, когда уравнения выступают способом перевода предметной ситуации на математический язык, тем самым определяют новый алгебраический метод решения текстовых задач. Как научить такому переводу младшего школьника?

Если дети усвоили смысл буквенного обозначения, то перевод текста, описывающего ситуацию «В вазе было а груш, из них b груш съели. Осталось с груш» на символический язык в форме равенства «а - b = с», является одним из методических приемов, ведущих к усвоению алгебраического метода решения[2]. Подчеркнем, буквы обозначают конкретные известные количества.

Предполагая одно из количеств неизвестным, получаем следующие задачи.

  • • В вазе было несколько груш, из них b груш съели, осталось с груш. Сколько груш было в вазе?
  • • В вазе было а груш, несколько груш съели, осталось с груш. Сколько груш съели?
  • • В вазе было а груш, b груш съели. Сколько груш осталось?

Обозначая в первой задаче неизвестное количество буквой, чаще всего

обозначаемое буквой х, получаем уравнение х- Ь = с. Вторая задача приводит к уравнению а-х = с, третья — к уравнению а- b =х.

Тогда ситуация, описываемая текстом задачи «Тане нужно было решить семь задач. Через полчаса ей осталось решить две задачи. Сколько задач решила Таня за полчаса?» па символический язык математики переводится уравнением 7 - х = 2, если неизвестное количество решенных задач обозначить буквой х.

Аналогично осуществляется перевод текста, описывающего ситуацию «В книге а страниц. Катя читала по b страниц в день. Всю книгу Катя прочитала за с дней» на символический язык в форме равенства а/b = с.

Составляя задачи, в которых одно из количеств неизвестно, дети овладевают умением описывать количественные характеристики ситуаций в форме уравнения с помощью умножения и деления.

Задания для самостоятельной работы

  • 1. Разработайте методические приемы ознакомления учащихся с нахождением числовых значений буквенных выражений: а) в 1-м классе, б) во 2-м классе. Подготовьте презентацию.
  • 2. Разработайте методические средства, позволяющие сформировать у учащихся приемы сравнения буквенных выражений. Подготовьте презентацию.
  • 3. Спроектируйте фрагмент урока, цель которого — ознакомление с понятием «уравнение»: а) в 1-м классе, б) во 2-м классе. Подготовьте презентацию.
  • 4. Разработайте методические приемы ознакомления учащихся с приемами решения уравнений видах • а = Ь, а/x b. Подготовьте презентацию.
  • 5. Спроектируйте фрагмент урока, цель которого — обучение умению осуществлять перевод текста, описывающего конкретную ситуацию, на символический язык буквенного выражения. Подготовьте презентацию.
  • 6. Спроектируйте фрагмент урока, цель которого — познакомить учащихся с алгебраическим методом решения текстовой задачи. Подготовьте презентацию.
  • 7. Сформулируйте образовательную цель задания: «Докажи, что число 7 является корнем уравнения * • 12 = 84».
  • 8. Опишите работу над заданием: из данных уравнений

*-3 = 20; 20-* = 3; * + 3 = 20; 20+* = 3

выбери те, решение которых есть ответ на вопрос задачи «В буфет привезли 20 кг апельсинов. К концу дня осталось 3 кг. Сколько килограммов апельсинов продали за день?».

  • 9. Опишите различные способы решения задачи «Число умножили на 3, получили 27. Какое это число?». Объясните, почему эта задача может быть решена составлением уравнения.
  • 10. Опишите работу над заданием: «Сравни выражения d • 7 и d • 6 + d».
  • 11. Опишите работу над заданием: «К какой из задач можно составить уравнение * + 5 = 15?».
  • 12. Какими умениями овладевают учащиеся при выполнении задания: найти значения выражений при заданных значениях переменных:

с

8

12

14

16

20

24

32

с + 2

с/2

13. Какими знаниями овладевают учащиеся при выполнении задания: «Переменная сможет принимать значения 10,12,15. При каких значениях переменной неравенство * - 8 < 5 истинное?»

  • [1] Демидова Т. ?., Козлова С. А, Топких А. П. Моя математика. 1 класс. Ч. 2. Баласс, 2009.С. 50.
  • [2] Математика. 1 класс : учебник / В. В. Давыдов [и др.|. М.: Мирос, 1994. С. 127.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >