РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

Краевая задача - эго задача отыскания частного решения системы

на отрезке а<х<Ь, причем дополнительные условия налагаются на значения функций Uk{x) более чем в одной точке этого отрезка.

Сами дополнительные условия могут связывать между собой значения нескольких функций; тогда для системы р-го порядка (2.1) они примут вид

Существуют задачи с еще более сложными дополнительными условиями.

Заметим, что дифференциальное уравнение порядка р

где ух) - производная порядка к, к = 0,1,...,/?, У0)(х) = у(х), может быть сведено к системе дифференциальных уравнений вида (2.1) заменой переменных

Действительно, по замене (2.4)

и уравнение (2.3) сведется к следующей системе вида (2.1):

Здесь последнее уравнение получено подстановкой (2.4) в (2.3).

Примером простой краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка является задача нахождения статического прогиба у(л') нагруженной струны с закрепленными концами

Здесь J{x) - внешняя изгибающая нагрузка на единицу длины струны, деленная на упругость струны.

Приведем пример более сложной краевой задачи, возникающей при расчете зеркала антенны, выполненного в виде тонкой армированной параболической оболочки вращения. Эта краевая задача сводится к последовательности краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом разделения переменных с применением тригонометрического базиса. В общем случае каждая из получаемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений записывается в виде

где ут(г) - вектор-функция разрешающих коэффициентов при гармонике с номером т ; г - расстояние от отсчетной поверхности до оси вращения; Ат(г) - матрица системы размерности 8x8; Ьт(г) - вектор свободных членов. К этой системе присоединяются граничные условия вида

где G,, Gr - матрицы размерности 8x4; glm, gn т - векторы размерности 4.

Заметим, что общая краевая задача (2.1) может:

  • • не иметь решений;
  • • иметь единственное решение;
  • • иметь несколько и даже бесконечно много решений.

Примеры

Краевая задача

имеет бесконечно много решений где С - произвольная постоянная.

Краевая задача

у" + у = О, ^(0) = 0, y(b) = 1 при 0<Ь<я имеет единственное

решение

а при Ъ - л вовсе не имеет решений.

В дальнейшем будем предполагать, что решение краевой задачи существует.

Рассмотрим более подробно важный частный случай, когда дифференциальное уравнение и краевые условия линейны. Такая краевая задача называется линейной краевой задачей.

Линейное дифференциальное уравнение «-го порядка сокращенно можно записать в виде

где

причем обычно предполагается, что р,(х) (/ = 0,1,...,л) и /(х) - известные непрерывные функции на данном отрезке [а, Ь].

Для простоты будем предполагать, что в краевые условия входят две абсциссы х, - а и х2 (а<Ь) - концы отрезка [а, Ь. Такие краевые условия называются двухточечными. Краевые условия называются линейными, если они имеют вид

где

и a[v yv - заданные постоянные, причем

Например, краевые условия, приведенные в предыдущих примерах, линейны.

Линейными краевыми условиями являются также условия периодичности, которые в случае дифференциального уравнения второго порядка имеют вид

Линейная краевая задача называется однородной, если:

  • • во-первых, f(x) = 0 при а<х<Ь, т. е. дифференциальное уравнение (2.6) однородно;
  • • во-вторых, yv = 0, v = 1,2,.т. е. имеют место однородные краевые условия.

В противном случае краевая задача (2.6)-(2.7) называется неоднородной.

Пример 1. Рассмотрим задачу об изгибе горизонтальной балки длиной /, лежащей на двух опорах х - 0 и х -1, под действием распределенной поперечной нагрузки с линейной плотностью q = q(x) (рис. 1).

/. К задаче об изгибе горизонтальной балки

Рис. /. К задаче об изгибе горизонтальной балки

Из курса сопротивления материалов известно, что вертикальный прогиб однородной балки приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

где Е1(х) - жесткость балки при изгибе, причем изгибающий момент М и поперечная сила Q определяются из соотношений

Краевые условия зависят от способа заделки концов балки. Приведем основные случаи.

1. Конец свободен. Нулю равны изгибающий момент М и поперечная СИЛа Q. ПОЭТОМУ краевые vrnneua дня гяпбпднп^п коиип бяпки б»гтк

2. Конец опирается шарнирно. Нулю равны прогиб у и изгибающий момент М. Поэтому краевые условия для шарнирно опирающегося конца есть

3. Конец жестко заделан. Нулю равны прогиб у и угол поворота (р = arctg у’. Поэтому краевые условия жестко заделанного конца есть

Возможны также другие более сложные случаи краевых условий. Задача (2.8) - (2.9), очевидно, является линейной краевой задачей.

Пример 2. Пусть жесткость балки EI постоянна, тогда уравнение (2.8) для прогиба у заменяется следующим уравнением:

Предположим, что балка шарнирно закреплена на конце х = О и жестко заделана на конце* = /. В таком случае для прогиба у выполнены краевые (граничные) условия:

Краевые условия (2.11) являются, очевидно, линейными однородными. Краевую задачу (2.10)—(2.11) решить нетрудно. Предполагая для простоты, что плотность нагрузки постоянна:

оудем иметь

Из граничных условий (2.11) вытекает Таким образом, искомое решение есть

Этот пример показывает, что в случае, когда можно найти общее решение дифференциального уравнения, двухточечная краевая задача не более трудна, чем задача с начальными условиями. Однако если общее решение уравнения не может быть найдено регулярным путем, то решение краевой задачи приводит к новым трудностям, так как нс имеется начальной точки, исходя из которой можно было бы построить решение одним из рассмотренных выше методов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >