Метод стрельбы

Это численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к решению последовательности задач Коши для той же системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим его на примере простейшей задачи для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями достаточно общего вида

Выберем произвольно значение U(а) = г/, рассмотрим левое краевое условие как алгебраическое уравнение (р {г/, V(«)) = 0 и найдем из него F(a) = ?(/;). Возьмем значения U(a) = r/, V(a) = % в качестве начальных условий задачи Коши для системы (2.12а) и проинтегрируем эту задачу Коши любым численным методом. При этом получим решение (J(x,rj), V(x,T]), зависящее от /7 как от параметра.

Значение ? выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию (2.126). Однако правому краевому условию это решение, скорее всего, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть краевого условия в точке Ь, рассматриваемая как функция параметра ц

не обратится в нуль.

Необходимо каким-либо способом менять параметр /7, пока не подберем такое значение, для которого

Простейшим методом его решения является метод дихотомии (деления отрезка пополам).

Делают «пробные выстрелы» - расчеты с наудачу выбранными значениями t]j до тех пор, пока среди величин (/(/7,) не окажется разных по знаку. Пара таких значений г!пг// + ] образует «вилку». Деля ее последовательно пополам до получения нужной точности, производим «пристрелку» параметра г/. Благодаря этому процессу весь метод получил название стрельбы.

Однако нахождение каждого нового значения функции ц/{г/) требует численного интегрирования системы (2.12а), т. е. достаточно трудоемко.

Поэтому корень уравнения (2.14) желательно находить более быстрым численным методом.

Попробуем сделать это методом Ньютона:

Однако вычисление производной у/'(г/() затруднительно, и лучше

ее заменить разностным отношением

Подставляя (2.16) в (2.15), получим итерационную формулу метода секущих:

В методе секущих первые два расчета делают с наудачу выбранными близкими значениями г/0 и /7,, а следующие значения параметра вычисляют по формуле (2.17) для /= 1, 2,.... Итерации выполняются до удовлетворения заданной точности.

Заметим, что этот метод быстро сходится вблизи корня уравнения (2.14). Сходимость вдали от корня зависит от того, насколько удачно выбраны начальные приближения г/0 и /7,.

В качестве примера решим методом стрельбы краевую задачу у" = ех + sin у с граничными условиями у (0) = 1, у (1) = 2 на отрезке [0, 1 ].

Заменой переменных у =у0, у = yt сведем дифференциальное уравнение второго порядка к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка с краевыми условиями у0(0) = 1, у0(1) = 2.

Задачу Коши для полученной системы с начальными условиями на левом конце jy0(0) = 1, »(0) -г/ (т. е.у'(0) -г/) будем решать методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом // = 0.1. Функция ^(/7) = (Л,/7),К(Л>,/7)) на правой границе тогда есть

7o(1)|Vo(0)=1>Vi(0)=,;-2. Здесь y0(l)|Vo(0)=|,„(0)=,; означает решение задачи Коши, полученное методом Рунге-Кутта в точке b = 1 для величины у0( 1) с начальными условиями у0(0) = 1, jKi(0) = /7. Параметр г/ найдем, используя схему секущих (2.20), производя «выстрелы» (т. е. многократно решая задачу Коши) до удовлетворения условия на правом конце

у7(п)^0, которое здесь принимает вид уп(1)| ... . ... -2 <е, где е -

заранее заданная точность. Точность е выберем равной 10 4.

Примем, например, в качестве первых двух значений параметра р следующие: rj() = 1.0, rjx =0.8. Дважды решая задачу Коши с этими параметрами, получим следующие решения: уп(1)| ... . ..... =3.168894836 и >’,,(1)1 „„ =2.97483325. Далее будем вычислять новые прибли-

и (О)-О.б

жения параметра р по формуле (2.17). Результаты представим в следующей таблице:

Так как |^(/74)|р4, т. е. с условиями у0(0) = 1, у, (0) = р4 = -0.160862503:

Рассмотрим теперь линейную краевую задачу, решение которой методом стрельбы особенно просто:

Воспользуемся известным результатом из теории дифференциальных уравнений: общее решение линейной неоднородной системы равно сумме ее какого-нибудь частного решения и общего решения соответствующей однородной системы.

Найдем частное решение неоднородной системы (2.18а), положив в левом условии (2.186), например, U(a) = p() = 0. Обозначим это частное решение через U0(x), V0(x) и заметим, что V0(a) = t[/qr Рассмотрим теперь соответствующую однородную систему с однородными начальными условиями

Вычислим решение этой задачи Коши и обозначим его через Ux(x Vx(x). Рассмотрим функции U{x) = U0(x) + C-Ux(x) и V(x) = V0(x) + С ? Vt(x). Очевидно, что в точке а эти функции удовлетворяют краевому условию:

Поэтому общее решение неоднородной задачи Коши, удовлетворяющее левому краевому условию (2.186), дается следующим однопараметрическим семейством

Значение параметра С выбираем так, чтобы удовлетворить правому краевому условию (2.186):

Искомое решение краевой задачи (2.18) тогда находится по формуле (2.19).

Итак, решение линейной краевой задачи требует только двух «выстрелов» - вспомогательные задачи Коши решаются дважды.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >