Метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу где р(х), q(x), и f(x) непрерывны на [а, Ь.

Разобьем отрезок [а, Ь] на п равных частей длины, или шага:

Точки разбиения xi = х() + /•/?, / = 0, 1 х0 = а, хп называются узлами, а их совокупность - сеткой на отрезке [а, Ъ]. Значения в узлах искомой функции у = у(х) и ее производных у' = у'(х), у” = у"(х) обозначим соответственно через

Введем обозначения

Заменим производные так называемыми односторонними конечноразностными отношениями:

Формулы (2.23) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [а, Ь].

Для граничных точек положим

Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.21) при х - X/ (/ = 1, 2,..., «-1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

Кроме того, в силу формул (2.24) краевые условия (2.22) дополнительно дают еще два уравнения:

Таким образом, получена линейная система п + 1 уравнений с п + 1 неизвестными yQ,yv...,yn, представляющими собой значения искомой функции у(х) в узлах сетки. Система уравнений (2.25), (2.26), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.21), (2.22) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.25), (2.26) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.25):

Введя обозначения получим

Краевые условия по-прежнему запишем в виде

Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.28) относительно ум:

Предположим, что с помощью полной системы (2.28) из уравнения исключен член, содержащий^. Тогда уравнение (2.30) может быть записано в виде

где с, и dj должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При /=0 из формулы (2.30) и краевых условий (2.29) следует, что

Исключая из этих двух уравнений у0, найдем

Так как с0 и d0 уже определены по формулам (2.34), то, используя формулы (2.36), можно последовательно определить коэффициенты с, и с/( до сп_2 и с1п_2 включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.30) при i = n—2 и второго краевого условия (2.29) получаем

Разрешая эту систему относительно уп, будем иметь

Теперь, используя (2.31) и первое краевое условие (2.29), мы можем последовательно найти упА, уп_2,...,у0. Это - обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:

Для простейших краевых условий у(а) = А, у(Ь) = В формулы для коэффициентов с0, da, уа и уп упрощаются. Полагая в этом случае

из формул (2.34), (2.37), (2.38) будем иметь

Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

  • 1. Существует ли решение алгебраической системы типа (2.28)?
  • 2. Как фактически находить это решение?
  • 3. Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к нулю?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид

причем р(х)>0, то решение системы (2.28), (2.29) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая теорема.

Теорема

Если р(х) и f(x) дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой

равномерно сходится к точному с погрешностью 0(h) при h —> 0.

Таким образом, схема (2.25), (2.26) даст приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что ап-

у. — у.

проксимация производной у' я ' *—— имеет низкий порядок точно-

h

сти - погрешность этой аппроксимации

Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:

т. е. формула (2.39) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.39), (2.40) в задачу (2.21), (2.22) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:

Система (2.41) снова трехдиагональная и се решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

Затем определяют коэффициенты cj,dj по следующим рекуррентным формулам:

Погрешность формулы (2.39) выражается так:

где / = 2,3,..., п.

Обратный ход начинается с нахождения уп:

После этого находим уп,...,у10 по формулам:

Относительно схемы (2.41) можно также доказать, что она имеет

2

единственное решение при шах |/?(?*) |<— и q{x) <0, и это реше-

а < х < b h а < х < b

ние может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.41) имеет место теорема.

Теорема

Пусть решение граничной задачи (2.21), (2.22) единственно и непрерывно дифференцируемо на [а, Ь] до четвертого порядка включительно. Если выполняются условия

то схема (2.41) будет равномерно сходиться к решению задачи (2.21), (2.22) с погрешностью 0(h2).

Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >