Разностные схемы для уравнений эллиптического типа

Этот тип задач мы рассмотрим на примере уравнения Пуассона с постоянными коэффициентами.

Построение разностной аппроксимации для уравнения Пуассона

Рассмотрим в некоторой области D с границей /"уравнение Пуассона Выберем прямоугольную сетку по правилу

К сеточной области Dh отнесем все узлы, принадлежащие области D = D + Г (рис. 5).

К построению разностной аппроксимации

Рис. 5. К построению разностной аппроксимации

Возьмем пятиточечный шаблон

Пользуясь расположением точек в этом шаблоне, разобьем узлы области на две категории: внутренние и граничные. Узел (т,п) будем считать внутренним, если он сам и четыре соседних точки шаблона принадлежат области Dh (эти узлы обозначены символом °). Обозначим множество внутренних узлов через D. Остальные узлы назовем граничными (помечены *) и их множество обозначим через ГЛ.

Таким образом, Dh - ?>“ + ГИ.

Очевидно, что разбиение узлов из Dh на внутренние и граничные зависит от выбранного шаблона.

Пусть узел (ш,и)е?)“. Замену дифференциального уравнения (3.25) разностным будем осуществлять только во внутренних узлах.

Имеем

Воспользовавшись аппроксимацией вторых производных, получим

д4и д4и „ —

Пусть —j и —г-ограничены по абсолютной величине в D . Тогда

дх ду

в формуле (3.27) при достаточно малых h и / можно пренебречь членами, содержащими в качестве множителей /Г и I2, и мы получим искомое разностное уравнение

где

где uh(x,y) - точное решение в узлах,

дАи дАи

При сделанных предположениях относительно —j и --, как

дх ду

видно из (3.30), имеет место оценка

Здесь М - постоянная, не зависит от И и l = a h.

Оценка (3.31) означает, что разностное уравнение (3.28) аппроксимирует уравнение (3.25) на решение и(х,у) с погрешностью порядка 0(h2).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >