Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Посмотреть оригинал

Волновое уравнение

Волновым уравнением называется уравнение вида d2ufdt2 = = с2д2и/дх2, относящееся к гиперболическому типу. Это одно из основных уравнений математической физики, и его теория подробно рассмотрена в классических курсах. Иногда его называют уравнением колебаний струны. Это связано с тем, что оно появилось при изучении задачи о движении гибкой весомой натянутой струны, а искомое решение представляет отклонение элемента струны от положения равновесия. На элемент струны действует сила инерции, обусловленная его ускорением (левая часть уравнения), и сила натяжения, возвращающая элемент в положение равновесия, обусловленная кривизной формы струны (правая часть уравнения). Движение струны обусловлено конкуренцией этих двух механизмов (инерционного и упругого) процесса. Однако не следует полагать, что область приложений данного уравнения ограничивается только этой задачей. Оно описывает широкий круг процессов, характерной чертой которых является волновой характер решения.

Для этого уравнения корректной является задача Коши:

Здесь следует обратить внимание на то, что уравнение второго порядка требует задания двух начальных условий: условий на функцию и ее производную.

Французский математик Даламбер еще в 1750 г. нашел решение задачи (6.17). Оно носит название формулы Даламбера:

Скобка в правой части представляет суперпозицию (наложение) двух простых волн, движущихся в противоположных направлениях с постоянной скоростью с и переносящих начальное распределение параметров, подобно тому, как это происходило при эволюции решения простейшего волнового уравнения (4.1). Интегральный член в правой части представляет вклад в решение начального условия для первой производной. В частности, если начальное состояние было состоянием покоя, то этот член в решении будет отсутствовать.

В классическом случае формула Даламбера дает полное решение задачи Коши для волнового уравнения. Однако в конкретных практических постановках задачи появляются особенности, исключающие возможность использования этого решения: возможная переменность скорости переноса возмущений, переход от задачи Коши к краевой задаче с особенностями постановки граничных условий и ряд других обстоятельств. Поэтому для нас представляют интерес методы построения численных решений этого уравнения, которые имеют более общий круг приложений. Кроме гот отметим, что волновое уравнение — лишь простейшая схема описания определяемого круга физических процессов, связанных с распространением в среде информации с конечной скоростью. Более общими являются гиперболические системы уравнений, в которых волновые свойства решения проявляются в более сложной форме — наличии нескольких скоростей распространения волн и зависимости скорости волны от решения, приводящей к появлению разрывов, и т.д. Изучение методов разностного решения волнового уравнения даст хороший опыт дггя перехода к численному решению гиперболических систем уравнений.

Часто волновое уравнение (6.17) появляется в результате упрощения более общей задачи. Так, волновое уравнение, описывающее распространение звуковых возмущений в воздушной среде, получают из уравнений газовой динамики, пренебрегая вязкостью и объемными силами. При выводе уравнения предполагается, что прохождение звуковой волны вызывает малые отклонения (пульсации) гидродинамических параметров (скорости, плотности, давления) от их стационарных состояний. Значения и градиенты средних и пульсаци- онных скоростей полагаются малыми, а средние значения плотности и давления принимаются не зависящими от времени. При этих условиях, а также при условии малости возмущений и отсутствии теплообмена выполняются условия безвихревого характера движения и можно ввести потенциал малых возмущений скорости <р, такой, что v = grad ip. Для него и будет выполняться волновое уравнение. Можно показать, что волновое уравнение будет выполняться также и для возмущений давления и возмущений скорости. Па таком подходе основана классическая теория распространения звука в бездисперсионной среде.

Уравнение (6.17) описывает процесс распространения волн в пространстве одного измерения. В многомерном случае оно имеет вид

и для него может быть поставлена как задача Коши в неограниченной области, так и соответствующим образом сформулированная краевая задача с граничными условиями, отражающими специфику рассматриваемой конечной области и ее взаимодействия с окружающей средой.

В цилиндрической системе координат волновое уравнение имеет

вид

Многомерный характер процесса может быть упрощен на основе некоторых представлений о симметрии распространения возмущений. Так, для случая волновых процессов, имеющих осевую симметрию, имеет смысл использовать цилиндрическую систему координат, в которой решение не будет зависеть от окружной координаты Для плоской задачи при наличии осевой симметрии процесса будут отсутствовать два последних члена правой части:

Процессы, имеющие сферическую симметрию, будут описываться сокращенной формой этого уравнения, содержащей в правой части лишь производные по радиальной координате. Оно сходно с волновым уравнением при осевой симметрии процесса, поэтому часто эти уравнения записывают в единой форме:

При 7 = 1 имеем случай осевой симметрии, а при 7 = 2- сферической симметрии процесса.

В том случае, когда явление предполагает наличие в среде источников возмущения, процесс описывается неоднородным волновым уравнением

Член в правой части представляет собой источник возмущений. Такого вида уравнения появляются при описании процессов генерации звука газовыми струями. Вопрос об источнике звука не простой вопрос, так как механизм генерации звука в газовых потоках — сложное физическое явление, связанным с турбулентным режимом движения. Для вычисления источника звука струйного течения (шума струи) необходимо знать такие характеристики, как турбулентные пульсации скорости, пространственные и временные масштабы турбулентности, корреляционные характеристики и т.д., что представляет собой достаточно сложную самостоятельную задачу аэроакустики.

Задача Коши определена в бесконечной области. Часто интерес представляет решение и в области конечного размера, что приводит к постановке краевых задач для волнового уравнения, которые характеризуются большим разнообразием.

Многослойные схемы для волнового уравнения. Волновое уравнение является уравнением второго порядка, и для формулирования задачи Коши необходимо в качестве начальных условий задать значение как искомой функции, так и ее первой производной . Рассмотрим построение разностной схемы для задачи Коши (6.17).

Для компактности записи введем оператор Л, который действует на сеточную функцию следующим образом:

и со вторым порядком аппроксимирует вторую производную по пространственной координате.

Можно построить трехслойную разностную схему вида

Условие применения этой схемы — 0 ^ 0 ^ 1. При 0 = 0 будет иметь место чисто явная схема, при 0 = 1/2 она становится центрированной по времени, что обеспечивает второй порядок аппроксимации временных производных.

О разрывных решениях волнового уравнения. Волновые решения предполагают в общем случае возможность распространения разрывов. В то же время исходное волновое уравнение требует гладкости первых производных решения. Отсюда следует, что оно ограничивается рассмотрением достаточно гладких решений. Желание распространить волновое уравнение на реальные физические ситуации приводит к понятию обобщенного решения, соответствие которого исходному уравнению строится на основе интегрального соотношения, получаемого из исходного уравнения при интегрировании его по произвольному замкнутому контуру С:

Это уравнение эквивалентно исходному волновому на достаточно гладких функциях, но допускает более широкий класс решений, имеющих разрывы первых производных. В этом случае говорят об обобщенном решении волнового уравнения, которое в рассматриваемой области имеет ограниченные кусочно-непрерывные производные и удовлетворяет интегральному соотношению (6.22). Вопрос о соответствии решения дифференциального уравнения (6.17) и его интегральной формы (6.22) аналогичен тому, который мы рассматривали при изучении разрывных решений уравнения переноса.

Возникает вопрос о численном определении обобщенных решений. Принципиальным здесь является разделение подходов на методы, в которых разрыв решения выделяется и сопровождается, и подходов, в которых расчет производится сквозным методом без выделения разрыва. В частности, схема с весами (6.21) позволяет производить расчет обобщенных решений с «размазыванием» разрыва.

Применение для расчета разрывных решений схем сквозного счета приводит к появлению ряда общих эффектов. Во-первых, происходит размазывание разрывного волнового фронта на несколько ячеек разностной сетки, что затрудняет определение скорости распространения разрыва и требует применения особых процедур анализа и выделения разрыва. Другим эффектом является появление нефизических осцилляций ряби решения, связанной с наличием в разностной схеме дисперсионных свойств, которые не присущи истинному решению.

Для схемы (6.21) можно показать, что наименьшей дисперсией будет обладать схема с весом

Однако и при использовании (6.23) особенности негладкого решения плохо воспроизводятся схемой. В значительно лучшей степени обобщенные решения воспроизводятся разностными схемами, построенными для эквивалентной исходному волновому уравнению системы уравнений первого порядка.

Волновое уравнение и система уравнений переноса. Покажем возможность сведения задачи решения этого уравнения к известному нам построению численного решения простейшего уравнения переноса. Рассмотрим задачу Коши для системы двух уравнений первого порядка вида

11родифференцировав первое из этих уравнений по t, а второе по я, подставим смешанную производную из второго уравнения в первое. В результате получим волновое уравнение для переменной и вида[1] d2u/dt2 = с2д2п/дх2.

Начальные условия для этого волнового уравнения получаются из начальных условий системы (6.24) следующим образом: <р{х) = = f (х), ip(x) = —cdf2(x)/dx. Второе условие (условие на производную решения волнового уравнения) получено из связи между функциями и и v, имеющей место в силу первого уравнения системы (6.24). Таким образом, мы установили, что задача (6.24) соответствует задаче Коши для волнового уравнения (при достаточной гладкости начальных условий). Аналогично можно установить, что задаче (6.17) соответствует задача Коши для системы уравнений первого порядка с начальными условиями /(х) = <р(х) и /2 (я) = = — (1/с) / cj)(x)dx. Как видим, для достаточно гладких начальных условий система и волновое уравнение эквивачЧентны, в то же время система уравнений первого порядка допускает при своей постановке большую негладкость (и даже разрывность) начальных условий.

Систему (6.24) можно привести к весьма важной для понимания волновых процессов и построения практических методов расчета форме. После сложения и вычитания уравнений получим систему из двух уравнений переноса относительно новых функций, линейно выраженных через старые2:

Особенностью этой системы является независимость уравнений друг от друга. Такой вид системы называется каноническим или характеристическим.

Введя обозначения Y = и + v и Z = и — v, получим задачу Коши для расщепленной системы простейших уравнений переноса, в которой начальные условия построены так, чтобы обеспечить соответствие исходной задаче (6.24):

2В общем случае характеристический вид системы уравнений получается на основе анализа матрицы коэффициентов при производных, определением се собственных чисел и собственных векторов и приведением этой матрицы к диагональной форме.

Уравнениям этой системы удовлетворяют любые функции от аргументов х — ct и х + ct, в чем легко убедиться простой подстановкой в уравнение. Переменные Y(x — ct) и Z(x + ct) называют характеристическими комплексами или инвариантами Римана. Термин “инвариант” используется здесь потому, что эти комплексы сохраняются (инвариантны) вдоль прямых x±ct = const.

Таким образом, мы показали эквивалентность задачи Коши для волнового уравнения и начальных задач для системы уравнений первого порядка вида (6.24) и расщепленной системы уравнений переноса (6.25) (во всяком случае, на достаточно гладких решениях).

Для численного решения (6.25) можно применять все разностные схемы, рассмотренные выше применительно к одному простейшему уравнению переноса. Можно строить также удобные для расчетов разностные схемы и на основе (6.24). В силу этого численное решение волнового уравнения может реализовываться не на многослойных схемах вида (6.21), а на применении рассмотренных ранее схем для простейшего уравнения переноса или на применении особых подходов к решению систем, как это будет рассмотрено в следующем подразделе.

В заключение сделаем следующее замечание общего плана. Волновое уравнение, отражающее определенные стороны реальных физических процессов, получено в ходе математических преобразований, включающих операции дифференцирования. В результате повышаются требования к гладкости решения но сравнению с исходными физическими предпосылками. В этом смысле система вида (6.24), в которой устанавливаются соотношения вида «скорость изменения одной физической величины определяется градиентом другой величины», больше отвечает физической сущности изучаемого явления, так как математически отражает управляющие процессами законы сохранения (скорость изменения субстанции в выделенном объеме определяется потоком ее в этот объем). В качестве шутки (имеющей, однако, достаточное основание) можно сказать, что чем меньше мы дифференцируем, тем ближе подходим к основным закономерностям мира. Однако исключить дифференциальный анализ из системы познания нельзя, так как он весьма продуктивен и является одним из основных наших инструментов. Нужно только четко представлять себе те ограничения, которые вводятся этим анализом на допустимый для его применения круг явлений. Введение понятия обобщенного решения позволяет примирить «интегральный» характер нрироды с нашим «дифференциальным» подходом к ее познанию.

Точно так же можно сказать, что система уравнений вида (6.25) отражает тот факт, что при изучении некоторого явления мы приняли за основные параметры удобные для нас (в силу традиций, удобства измерения или других причин) физические характеристики и и и, в то время как более естественными для природы явления будут другие характеристики (в данном случае это Y = u + v и Z = = иV), для которых динамика явления определяется сочетанием (суперпозицией) простейших процессов переноса.

В данном разделе рассматривалась, в основном, начальная задача в бесконечной области. Реальный интерес представляют задачи для волнового уравнения в области конечного размера. В этом случае на границах области должны быть определены граничные условия. Постановка таких условий отражает особенности взаимодействия выделенной области с внешней средой и характеризуется большим разнообразием вариантов. Мы приходим, таким образом, к краевой задаче для волнового уравнения или для системы уравнений первого порядка. Ряд таких задач рассматривается в практикуме.

  • [1] Меняя порядок дифференцирования уравнений системы (6.17), можно получить волновое уравнение и для переменной v.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Популярные страницы