Свойства МНК-оценок коэффициентов регрессии

А А

Как уже отмечалось выше, оценки параметров 0() и 0, являются непрерывными случайными величинами, которые обладают соответствующими характеристиками. Сейчас нас будут интересовать такие характеристики, как математическое ожидание и дисперсия.

Нетрудно заметить, что математическое ожидание оценок параметров совпадает с истинными значениями этих параметров, т.е. МНК-оценки являются несмещенными:

Для удобства дальнейшего изложения введем дополнительное обозначение

с учетом которого можно легко записать:

Тогда дисперсии оценок будут определяться как

А

Как очевидно из этих соотношений, дисперсии оценок 0() и 0, зависят от дисперсии ошибки а2, кроме этого на точность определения этих оценок также оказывает влияние и расположение точек, в которых проводились измерения.

Знание дисперсий оценок позволяет проводить их сравнение по точности - более точным оценкам соответствует меньшая дисперсия. С этой точки зрения МНК-оценки обладают рядом полезных свойств, сформулированных в виде теоремы Гаусса — Маркова [47, 19, 28].

Теорема Гаусса — Маркова.

Для регрессионной модели

где для случайной ошибки выполнены условия:

А А

оценки 0О и 0,, полученные по МНК, имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных (по г/;.) несмещенных оценок.

Доказательство теоремы можно найти, например, в работе [19].

Следует обязательно отметить, что здесь речь идет только о линейных оценках. Иными словами, никто не гарантирует, что не существует нелинейной несмещенной оценки с дисперсией меньшей, чем у МНК-оценки. То же самое можно сказать и о смещенных оценках.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >