Двухстадийная модель роста клеточной популяции
Квазихимическое описание и математическая модель роста клеточной популяции в закрытой системе при отсутствии ингибиторов. Рассмотрим редуцированную систему квазихимических
реакций, позволяющую упрощенно описать развитие популяции при отсутствии токсикантов и внешних источников клеток в виде укороченной цепочки (4.1) из двух стадий (роста и деления), дополненных стадией самоингибирования (двухстадийная модель роста):
В системе (4.7) использованы те же обозначения, что и в системах (4.2)-(4.6), только для краткости опущены индексы: С - совокупность клеток разных возрастов до митоза в двухстадийной модели; Ст - материнская клетка; Са - клетка в анабиозе (покое), Са=?С-; Mi, М2- субстраты.
т
В предположении постоянства количеств субстратов Mi, М2 кинетика цепного роста изолированной популяции, состоящей из клеток С| и Ст, описывается системой из двух дифференциальных уравнений:
где Ci, ст - численность растущих и материнских клеток; а, Ь, р - кинетические коэффициенты автоингибирования, рождения (разветвления) и роста (продолжения) популяционной цепи. В коэффициенты р и b включены постоянные количества субстратов Mi и М2. Для данной разделившейся клетки Ст коэффициент/равен 2, что отражено во второй стадии цепочки роста (4.1). В общем случае значение/может отличаться от 2.
Система уравнений (4.8) и (4.9) имеет две стационарные точки: (О, 0) и (с(, с'т), где с[ = (f - 1 )Ыа; с'т = (f- 1 )p/fa. Первая точка
(О, 0) отвечает полному вымиранию популяции. Второй точке соответствует предельная численность популяции:
При этом доля материнских клеток
Как правило, уравнение (4.8) описывает более быстрые изменения по сравнению с уравнением (4.9). В связи с этим для материнских клеток С„ (промежуточный продукт), составляющих обычно небольшую долю популяции, применимо квазистацио- нарное приближение (теорема Тихонова о малом параметре). В этом приближении система уравнений (4.8) и (4.9) сводится к уравнению
В уравнении (4.12) введены следующие обозначения:
где К - предельная численность клеток С при из = 0.
Частное решение уравнения (4.12) при W = 0 имеет вид
где А - коэффициент, равный левой части уравнения (4.14); К = = Ыа; при t = 0 численность С] соответствует своему начальному значению со = ci(0).
При отсутствии токсикантов при/= 2, решая квадратное уравнение, получаем зависимость роста клеточной популяции от времени:
где H(t) = 0,5A0exp(-pt)/K; А0 = (К - с0)2/с0При значениях f отличных от 2, динамику численности Ci(/) популяции нельзя представить в виде явной функции времени. В связи с этим целесообразно использовать обратную функцию /(ci), получаемую логарифмированием уравнения (4.14) при /= 2 или интегрированием уравнения (4.12) по величине С в качестве независимой переменной:
Рис. 4.2. Зависимости роста клеточной популяции от времени (/) и времени от роста клеточной популяции (2) при отсутствии ингибитора при параметрах, характерных для дрожжевых клеток Saccharomyces cerevisae
На рис. 4.2 приведены зависимости c(t) и t(c) при а = = 1,25*10"8 мл/ч, b = 0,8 ч"1, р - 0,32 ч-1, f = 2, характерных для дрожжевых клеток Saccharomyces cerevisae. Кривые / и 2 полностью симметричны и взаимооднозначно отображают рост клеточной популяции. При больших временах численность С стремится к предельному значению с[ = К (стационарная точка системы).
Квазихимическое описание и математическая модель действия ингибиторов и промоторов на рост клеточной популяции в открытой системе. Ускоряющее (промотирование) и замедляющее (ингибирование) действия различных веществ на скорость радикально-цепных реакций хорошо изучено как в теоретическом, так и в экспериментальном плане.
Воздействие химических веществ на биосистемы интенсивно исследуется с XX в. в связи с фармакологическими и экологическими проблемами. Накоплен громадный экспериментальный материал по токсикометрическим характеристикам разных веществ (например, предельные допустимые концентрации и летальные дозы).
Однако в теоретическом плане эти вопросы изучены недостаточно. В частности, плохо проработаны теоретические основы количественного прогнозирования ингибирующих (токсических) воздействий токсикантов на биосистемы. Для этих целей используют главным образом имитационные модели, основанные на параметрах, не связанных с физиологией и биохимией моделируемых объектов.
Двухстадийная модель роста клеточной популяции, определяемая квазихимическими уравнениями (4.7), позволяет провести наглядную математическую формализацию и получить в явном виде уравнения, количественно описывающие токсические воздействия.
Для учета воздействия токсикантов двухстадийную модель
(4.7) следует дополнить уравнениями (4.5). При одновременном воздействии двух токсикантов X] и Хг (комбинированная токсичность) двухстадийная модель имеет следующий вид:
где (X|, Х2) - двухмерный вектор (список) токсикантов; {d,j} - матрица кинетических коэффициентов токсического действия; в (4.17) использованы те же обозначения, что и в системах (4.2Н4.6).
В системе уравнений (4.17) предполагается, что токсиканты X] и Х2 действуют только на растущие С и материнские Сп клетки, не влияя на кинетические коэффициенты а, Ь, р.
С учетом постоянства количеств субстратов Мь М2 и токсикантов X], Х2 кинетика цепного роста и ингибирования популяции, состоящей из особей С и Ст, описывается системой из двух дифференциальных уравнений, аналогичных уравнениям
(4.8) и (4.9):
где С!, ст — численность растущих и материнских клеток; а, Ь,р - коэффициенты, соответствующие коэффициентам в уравнениях
(4.8) , (4.9). Коэффициенты Ь и р являются функциями концентраций jci и х2 ингибиторов:
В формулах (4.20) d=dX + d2x2 d2 = d2iх, + d22x2.
Очевидно, что при х = х2 = 0 (отсутствие ингибиторов) и >v, = 0 (изолированная популяция) система уравнений (4.18) и (4.19) переходит в систему (4.8), (4.9) как к своему частному случаю. При необходимости несложно провести обобщение (4.18) и (4.19) для большего числа токсикантов.
Для изолированной популяции (м> = 0) система уравнений (4.18) и (4.19) имеет две стационарные точки: (0,0) и (с", с"т),
Первая точка (0,0) отвечает полному вымиранию популяции, второй точке соответствует предельная ее численность:
При этом доля материнских клеток
Согласно формулам (4.20)-(4.23), численности в изолированной популяции в целом и клеток при разных стадиях роста - это функции концентрации токсикантов в окружающей среде.
Как следует из (4.20)-{4.22), с ростом концентрации токсикантов Xi и Х2 увеличиваются значения Ь и р, при этом предельная численность клеток Сi и С2 уменьшается и достигает нуля, когда выполняется равенство
Наборы концентраций (х, х2) ингибиторов, которые удовлетворяют уравнению (4.24), являются критическими и представляют собой многообразие, отображаемое на плоскости линией xi-x2, называемой критической кривой цитоцидного действия комбинации токсикантов Хь Х2.
При наличии внешнего притока (оттока) клеток система уравнений (4.18) и (4.19) имеет стационарную точку [ci(wi), cm(w,)]:
где А = -pw В = (aw, + рхЬх -/ bp); С = fab. Эта стационарная точка определяет зависимость предельной численности ci(wi) + cm(w) от концентрации токсикантов при разных скоростях Wj.
Во многих случаях уравнение (4.19) описывает более быстрые изменения по сравнению с (4.18). Тогда для клеток Ст применимо квазистационарное приближение, при котором (4.18) и (4.19) сводятся к уравнению
Здесь К - предельная численность клеток Сь
Аналогия уравнений (4.26) и (4.12) очевидна, покольку из уравнения (4.26) при х = х2 = 0 получают (4.12).
С возрастанием концентрации токсикантов значение величины К уменьшается. Согласно (4.26), при К = Со (со - начальная численность клеток Cj) скорость роста популяции обращается в нуль. Рост популяции отсутствует, и ее численность остается на исходном уровне. Наборы концентраций (*|, хг) токсикантов, соответствующие условию К = Со, являются цитостатическими. На плоскости Х—Х2 эти наборы концентраций отображаются линией, которую можно назвать критической кривой цитостатического действия комбинации токсикантов Xi, Х2.
Частное решение уравнения (4.26) имеет вид
где п = АГ1/АГ2; А - коэффициент, равный левой части уравнения (4.28), при t - 0 численность Cj соответствует начальному значению со = ci(0). При х = хг = 0 решение (4.28) переходит в решение (4.16).
Из уравнения (4.28) следует, что в общем случае динамику численности ci(?) популяции нельзя представить в виде явной функции времени. В связи с этим следует использовать обратную функцию /(ci), получаемую интегрированием уравнения (4.26) по величине С| в качестве независимой переменной или логарифмированием уравнения (4.28):
Функция (4.29) описывает рост клеточных популяций в присутствии токсикантов, поэтому ее называют экотоксикопогической кривой роста популяции.
На рис. 4.3 приведены расчетные зависимости, описывающие рост пивных дрожжевых клеток при различных молярных концентрациях солей хрома и никеля. В пределах точности измерений расчетные кривые согласуются с экспериментальными данными при изменении численности примерно на шесть порядков.
Важная особенность кривых биологического роста - точка перегиба (с/, tf), в которой скорость роста достигает максимального значения (равенство нулю второй производной):
Рис. 4.3. Зависимости роста клеточной популяции от времени (я, б) и времени от роста клеточной популяции (в) для параметров а = 1,25*10"7 мл/ч, b = 0,8 ч~р = 0,32 ч“',/ = 2, описывающие рост пивных дрожжевых клеток при разных молярных концентрациях (моль/л) солей хрома и никеля:
при численности, равной
При отсутствии токсикантов
