Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения

Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате выполнения прямого хода метода исключения система линейных уравнений приводится к верхней треугольной матрице. Следовательно, определитель матриды системы может быть вычислен как произведение диагональных элементов:

где k — количество перестановок строк при использовании метода исключения с выбором главного элемента. Вычисление определителя требует примерно (2/3)п3 операций.

Для вычисления обратной матрицы вспомним, что АА= Е, где А~1 — обратная матрица, а Е —- единичная матрица. Обозначим элементы обратной матрицы через а. Тогда соотношение АА-1 = Е можно записать в виде

где 8п — символ Кронекера,

Видно, что если рассматривать I-й столбец обратной матрицы как вектор, то он является решением системы (1.5) с матрицей А со специальной правой частью и вектором правых частей, в котором на (-м месте стоит единица, а на остальных — нули. Решение этой системы для каждого значения I дает элементы l-го столбца обратной матрицы. Таким образом, для обращения матрицы необходимо решить п систем линейных уравнений п-го порядка с одинаковой матрицей А и различными правыми частями. Так как приведение матрицы А к треугольной выполняется только один раз, то для обращения матрицы с использованием метода исключения требуется примерно 2п3 операций.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >