Метод Данилевского для построения характеристического многочлена матрицы

В методе Данилевского исходная матрица А с помощью подобных преобразований Ф = S US приводится к так называемой канонической форме Фробениуса

Разложив определитель матрицы (Ф - ХЕ) по элементам первой строки,получим

т. е. элементы первой строки матрицы (1.37) являются коэффициентами характеристического многочлена матрицы Ф, и так как матрица Ф получена подобными преобразованиями матрицы А, то они являются также и коэффициентами характеристического многочлена исходной матрицы А.

Переход от матрицы А к матрице Ф осуществляется за (п - 1) преобразование подобия, последовательно преобразующее строки матрицы А, начиная с последней, в строки матрицы Ф. Рассмотрим схему преобразований. Пусть после некоторого шага матрица А приведена к виду

(здесь и далее индекс шага для сокращения опущен).

Приведение А-й строки к строке матрицы Фробениуса осуществляется следующим образом. Весь (А - 1)-й столбец делится на Ьк,к _ так что вместо элемента Ьк(к _ 1( получаем 1. Далее этот столбец умножается на элемент — Ьк1 и складывается с i-м столбцом, при этом i изменяется от 1 до п (кроме, очевидно, г = (A - 1)). В результате A-я строка принимает форму Фробениуса. Нетрудно показать, что описанная процедура эквивалентна умножению матрицы В справа на матрицу S, имеющую вид

Непосредственным умножением легко убедиться, что матрица S 1, обратная матрице S, имеет вид

При умножении матрицы В на матрицу S справа k-я строка матрицы В принимает требуемый вид, а строки матрицы Фробениуса с (А — 1)-й по п-ю сохраняют свой вид.

Однако матрица BS не подобна матрице А, и, чтобы сделать ее подобной, нужно матрицу BS умножить слева на матрицу S'1.

Умножение матрицы BS слева на матрицу S1 не меняет строк с А-й по п-ю этой матрицы. Применив последовательно описанный процесс к строкам матрицы Л, начиная с последней, получим матрицу Фробениуса (1.37).

ФРОБЁНИУС ФЕРДИНАНД ГЕОРГ (Frobenius Ferdinand Georg; 1849—1917) — немецкий математик. Его основные работы относятся к алгебре, в частности, теории матриц, теории конечных групп и их представлений матрицами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >