Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Посмотреть оригинал

Погрешность и сходимость интерполяции

Построив для функции f(x) интерполяционный многочлен Рп{х) или Ln(x), необходимо выяснить, насколько близко интерполяционный многочлен приближается к функции в других точках отрезка. Ошибку интерполяции можно представить в виде

так как ошибка интерполяции обращается в нуль в узлах сетки. Выражение для г(х) найдем из следующих соображений. Введем функцию

где х* — произвольная точка. Очевидно, что <7(дг) = 0 в (п + 2)-х точках, в которых х = xt для i = 0, ..., га, и при х = х*. Если f(x) имеет (га + 1)-ю непрерывную производную, то и q(x) можно продифференцировать (га + 1) раз. А так как между двумя нулями гладкой функции лежит нуль ее производной, то q'(x) обращается в нуль на всем интервале по крайней мере (га + 1) раз. Последовательно применяя это правило дальше, получаем, что между крайними нулями функции q^n)(x) лежит, согласно теореме Рол- ля, по крайней мере один нуль функции q(n + ^(х), т. е. существует такая точка принадлежащая отрезку интерполирования, в которой выполняется равенство

Следовательно, г(х*) = /(л + 1)(^)/(п + 1)1- Так как х* — произвольная точка, то погрешность интерполяции запишется в виде

т. е. можно сказать, что существует точка для которой выполнено равенство (2.18). Так как точка неизвестна, то обычно используют мажорантную оценку. Заменяя величины, входящие в (2.18), их максимальными значениями, получаем при Мп + х — = max )/(n + 1)(4)|, ?. е [хо> хп величину максимальной погрешности

Формула (2.19) дает возможность провести априорную оценку точности, т. е. для случая аналитически заданной функции f(x) провести оценку до начала вычислений. Однако так как величину производных интерполированной функции бывает оценить достаточно сложно (например, для таблично заданной функции), то априорной оценкой пользуются редко. Удобнее применять апостериорную оценку по первому отброшенному члену интерполяционного многочлена Ньютона. Это удобство является следствием того обстоятельства, что в процессе построения многочлена Ньютона вычисляются разделенные разности, являющиеся, как отмечалось, аналогами производных соответствующих порядков.

)ис. 2.2 на примере ин- Рис. 2.2

РОЛЛЬ МИШЕЛЬ (Rolle Michel; 1652-1719)— французский математик, автор исследований, относящихся к решению в целых числах неопределенных линейных уравнений с двумя неизвестными. Им выведена теорема Ролля, послужившая основой метода отделения действительных корней алгебраических уравнений.

На рис. 2.2 представлена функция со(л + jj(x) для равноотстоящих узлов. По рис. 2.2 на примере интерполяционного многочлена пятой степени видно, что между центральными узлами интерполяции х2 и х3 имеет место наименьший экстремум функции (i)6(x). К крайним узлам экстремумы возрастают.

Приближение, при котором точка, в которой ищется значение приближающей функции, находится за пределами отрезка интерполяций, называется ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ. При экстраполяции в точках, далеко отстоящих от концов отрезка интерполяции, ошибка приближения может стать значительной. Ошибка интерполяции в центральном интервале при постоянном шаге таблицы определяется выражением

Поэтому первым способом уменьшения ошибки при постоянном шаге таблицы является выбор точки х вблизи середины отрезка интерполирования.

Из выражения (2.20) видно, что если интерполяционный многочлен имеет порядок п, то ошибка интерполяции будет убывать как hn + 1 при переходе от таблиц с более крупным шагом к таблицам с более мелким шагом. Следовательно, если производная, входящая в оценку погрешности, ограничена, то для фиксированной степени многочлена и изменения шага сетки погрешность |/(х) - Рп(х)| неограниченно убывает. При этом многочлен равномерно сходится к f(x) на ограниченном отрезке. Если значение производной оценивается легко, то из (2.20) легко оценить число узлов, обеспечивающих заданную точность интерполяции.

Другой способ уменьшения ошибки интерполяции заключается в увеличении числа узлов, т. е. степени интерполяции, при постоянном шаге сетки. При этом знаменатель в выражении (2.19) возрастает. Этот способ не всегда приводит к уменьшению ошибки за счет роста числа (п + 1)!, так как функция f(x) может не иметь (п 4- 1)-й производной. Кроме того, максимум этой функции может возрастать очень быстро.

Трудности, возникающие при многочленной интерполяции, хорошо иллюстрируются примером Рунге: интерполяция на отрезке [-1, 1] функции f(x) = 1/(1 + 25х2) при равномерном распределении узлов (рис. 2.3). С увеличением порядка п интерпо-

РУНГЕ КАРЛ ДАВИД ТОЛЬМЕ (Runge Carle David Tolme; 1856—1927)— немецкий математик и физик, основными направлениями исследований которого являлись прикладная математика и спектроскопия. Р. существенно развил численные методы решения дифференциальных уравнений (метод Рунге — Кутты).

ляционного многочлена возрастают колебательные свойства многочлена, и это приводит к тому, что интерполяционный многочлен при 0,726 < х < 1 расходится

Рис. 2.3 ляционного многочлена возрастают колебательные свойства многочлена, и это приводит к тому, что интерполяционный многочлен при 0,726 < х < 1 расходится.

Задача об оптимальном распределении узлов на отрезке интерполирования, приводящем к минимизации ошибки интерполирования, решена И. Л. Чебышевым. Им показано, что если узлы интерполяции не распределены равномерно, а совпадают с корнями так называемых чебышевских полиномов степени п + 1, то ошибка многочленной интерполяции минимальна. При таком выборе узлов интерполяции проблема расходимости многочлена для процедуры Рунге исчезает. Если интерполяция производится на интервале (а, б), то узлы интерполяционного многочлена следует расположить в нулях многочлена Чебышева, т. е.

Здесь

ЧЕБЫШЁВ ГХАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ (1821—1894)— русский математик и механик, труды которого относятся к математическому анализу, теории чисел, теории вероятностей. В теории вероятностей основная заслуга Ч. состоит во введении в рассмотрение случайных величин, в доказательстве общей формы закона больших чисел и исследовании условий сходимости функций распределения сумм независимых слагаемых к нормальному закону. В области математического анализа ему принадлежат исследования по теории интегрирования, теории интерполяции. Многие открытия Ч. навеяны прикладными задачами.

На практике для повышения точности интерполяционного многочлена, как правило, уменьшают шаг таблицы, оставляя неизменной степень интерполирующего многочлена. Для того чтобы уменьшить влияние колебательных свойств интерполяционного многочлена, используют линейную или квадратичную интерполяцию.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы