Дифференцирование интерполяционного многочлена Ньютона

Для вывода формул численного дифференцирования удобно пользоваться интерполяционным многочленом в форме Ньютона, так как он содержит разделенные разности, являющиеся аналогом производных соответствующих порядков. Очевидно, что минимальное число узлов для получения k-Vi производной равно (к + 1), так как дальнейшее дифференцирование многочлена приводит к производной, равной нулю.

Представим функцию f{x) в виде

Тогда

Для равноотстоящих узлов с шагом Л имеем:

Таким образом, точность расчета производной при заданной степени интерполяционного многочлена уменьшается с увеличением номера производной. При решении практических задач, в том числе при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, приходится использовать аппроксимации первых и вторых производных. Значительно реже приходится аппроксимировать производные более высоких порядков.

В связи с этим проведено вычисление первой и второй производной с использованием интерполяционных многочленов Ньютона первой и второй степени.

| Первая производная

Из формул (2.15) и (2.16) с использованием выражений (2.18), (2.36) и (2.37) получаем, дифференцируя по х,

Формулы (2.38) и (2.39) дают значения первой производной в случае неравноотстоящих узлов, при этом формула (2.38) получена дифференцированием интерполяционного многочлена первой степени, а (2.39) — многочлена второй степени с учетом формул для погрешностей интерполяции. Рассмотрим более подробно эти формулы. Очевидно, что при таблично заданных функциях с использованием интерполяционных многочленов производные вычисляются как производные от интерполяционных многочленов соответствующих порядков. Приближенное значение первой производной по формуле (2.38), полученное дифференцированием PJ(x), равно

При вычислении по формуле (2.40) производной максимальная ошибка, имеющая место в крайних точках интервала (х0, х,), согласно (2.38), пропорциональна первой степени шага h = (х0 - Xj). В средней точке хх ~0хх)/2, производная погрешности /^'(х,) = 0, и значение производной вычисляется с бо-

Рис. 2.4

лее высокой точностью, чем в крайних узлах. Естественно, дело не в том, что в точке получается точное значение производной, а в том, что выражение для производной погрешности Д'(х) является приближенным. Погрешности в точках х0 и хх

равны по величине и противоположны по знаку.

Геометрическое представление формул (2.38), (2.39) и аппроксимация производной показаны на рис. 2.4, а. Видно, что в точке х0 угол наклона касательной к графику функции f(x) больше, а в точке Xj меньше, чем угол наклона прямой Pt(x). В некоторой точке х* точное значение производной и производная Р[{х) совпадают, и эта точка близка к точке (х0 + х1)/2.

При использовании интерполяционного многочлена второй степени имеем

Согласно выражению (2.41) производная fx) не является величиной постоянной на отрезке [х0, х2J. Из формул (2.41) и (2.39) следует, что в этом случае при почти равноотстоящих узлах максимальная ошибка в вычислении производной имеет место в крайних точках, а минимальная — в средней, при этом ошибка пропорциональна произведению двучлена (х0 - - х2). Если

узлы существенно неравноотстоящие, то ошибка может быть пропорциональна первой степени разности - xt).

Если х2 (jCj - х0), то значение функции /(х), полученное в результате интерполяции на отрезке [х0, xj, будет иметь погрешность вычисления производной, пропорциональную первой степени шага (х0 - Xj), а не второй.

| Вторая производная

Для вычисления второй производной, очевидно, нужно использовать интерполяционный многочлен Ньютона второй степени. Имеем

Таким образом, приближенное значение второй производной на отрезке 0, х2] является постоянной, равной

Из формул (2.42) и (2.42а) следует, что по-прежнему максимальная погрешность в вычислении имеет место в крайних точках и формально по (2.42) равна нулю в точке х2 = (х0 + Xj + х2)/3. Однако в связи с приближенностью формулы (2.18) максимальная погрешность не строго равна нулю в этой точке. Отметим, что точки хк = (xQ + хх + ... + x^)/(k + 1) называются точками повышенной точности для производной k-то порядка.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >