Основные понятия метода сеток. Задача Дирихле для уравнения Лапласа

Метод сеток (или метод конечных разностей) сводит решение систем уравнений в частных производных к решению систем линейных, как правило, алгебраических уравнений с достаточно разреженными матрицами. При этом построение решения в методе сеток осуществляется в три этапа.

  • • Область непрерывного изменения аргумента (или аргументов) заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых разностной сеткой. В разностной сетке выделяются внутренние и граничные узлы. Решение ищется во внутренних узлах, а в граничных узлах значение искомой функции задается при аппроксимации граничных условий исходной дифференциальной задачи. Функция дискретного аргумента, определенная на разностной сетке, называется СЕТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ.
  • • Дифференциальное уравнение и граничные условия заменяются по определенным правилам своими разностными аналогами. Разностные операторы, соответствующие дифференциальному уравнению, записываются во внутренних узлах сетки. Разностные операторы, соответствующие граничным условиям, записываются в граничных узлах. В результате получается система алгебраических уравнений, число которых пропорционально числу внутренних узлов разностной сетки.
  • • Осуществляется решение системы алгебраических уравнений каким-либо из известных методов. В большинстве случаев получаемая система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений достаточно большого порядка, но с весьма разреженной матрицей. В случае нелинейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят их к линейным системам.

Основные понятия и этапы метода сеток продемонстрируем на примере решения задачи Дирихле для классического уравнения эллиптического типа — уравнения Лапласа. Итак, имеем уравнение Лапласа

и граничное условие

где Г — граница области G (рис. 4.4), в которой ищется решение и(х, у), удовлетворяющее уравнению (4.7) и граничному условию (4.8).

На первом этапе метода сеток область G непрерывного изменения аргумента с границей Г заменяют приближающей ее сеточной областью Gh с границей Г'А. Для этого проведем линии

х = const и у = const так, что х - mhx при т = 0.....М и у = nhy

при п = 0, ..., N. Величины hx и h , называемые шагами разностной сетки, в общем случае могут быть различными.

Рис. 4.5

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Точки пересечения линий х = const и у = const называют УЗЛАМИ РАЗНОСТНОЙ СЕТКИ. Различают два типа узлов — ВНУТРЕННИЕ и ВНЕШНИЕ. Внутренними называют такие узлы, для которых четыре соседних узла (по два в каждом направлении) принадлежат области G = G + Г. Сеточной функции приписываются нижние индексы. На рис. 4.4 внутренние узлы обозначены пустыми кружочками, а граничные — залитыми.

На втором этапе заменим дифференциальный оператор Лапласа разностным оператором. С этой целью выберем шаблон разностной схемы — набор (конфигурацию) узлов, с использованием которых производится замена производных конечными разностями. Шаблон, содержащий р точек, называется р-точечным. Для аппроксимации вторых производных, входящих в оператор Лапласа, применим пятиточечный шаблон, показанный на рис. 4.5. Не теряя общности рассуждений, рассмотрим далее случай, когда шаги разностной сетки по направлению х иу одинаковы, т. е. hx - hy = h. С использованием разложения функции на точном решении в ряд Тейлора в окрестности точки (*, у) имеем

Из этих соотношений получим аппроксимации вторых производных со вторым порядком точности

Введем для сокращения записи общепринятые индексные обозначения узлов в соответствии с рис. 4.5 и соответствующие обозначения сеточных функций в узлах: ит ит. „ и т. д. Тогда соотношения для производных примут вид

При этом разностный оператор Лапласа Дuh на пятиточечном шаблоне может быть выписан как

Аппроксимация граничных условий осуществляется с помощью различных приемов. Для случая прямоугольной области с границами, совпадающими с линиями х - const и у — const, граничные значения известны в узлах точно, так как и0 h = = uQ(mhx, nhy). Для области произвольной формы значения сеточной функции в граничных узлах принимаются равными значениям функции и0 в ближайших (по какому-либо критерию) точках кривой Г (рис. 4.4). Для задачи Неймана или смешанной задачи, когда на границе области задается значение производной функции и, производится аппроксимация производной.

Записав разностный оператор (4.11) во всех внутренних узлах, получим систему сеточных уравнений для нахождения значений сеточной функции ит п в узлах разностной сетки.

На третьем этапе осуществляется решение системы сеточных уравнений. В общем случае сеточные уравнения могут быть нелинейными. Однако в рассматриваемой задаче, в силу линейности основного дифференциального уравнения Лапласа, система уравнений (4.11) является системой линейных алгебраических уравнений для нахождения значений неизвестных во внутренних узлах. При этом число уравнений системы точно равно числу внутренних узлов разностной сетки. Отметим, что число уравнений может быть весьма велико. Так, для нахождения достаточно точного решения рассматриваемой задачи требуется задать числа N = М порядка 50—100, и, следовательно, количество уравнений достигает нескольких сотен или даже тысяч.

Перепишем систему сеточных решений в виде

Отметим, что каждое из уравнений системы содержит лишь пять неизвестных ит , . „, и„ , „ . ,, ит „ ., и„ хотя в полной

системе таких неизвестных содержится порядка N2. Таким обра- зом, матрица системы (4.12) является сильно разреженной. Системы с такими матрицами хорошо решаются с помощью итерационных методов: простой итерации, Зейделя, релаксационных. Рассмотрим их применение к решению системы (4.12).

Запишем систему (4.12) в виде

Значение функции в центральной точке есть среднее арифметическое значений функции в четырех соседних по направлениям х и у узлах. Уравнение (4.13) можно интерпретировать как разностный аналог теоремы о среднем для гармонических функций.

Рассмотрим применение метода простой итерации для решения системы (4.13). Для простоты предположим, что область G имеет прямоугольную форму (рис. 4.6). Построим итерационный процесс

Здесь верхний индекс означает номер итерации. В граничных точках значения известны точно. Для нахождения решения по соотношению (4.14) необходимо знать начальное приближение — значения функции на нулевой итерации ц(®* п. Можно доказать, что для любого шага разностной сетки итерационный процесс (4.14) сходится независимо от начального приближения и п. На практике желательно выбирать начальное приближение возможно более близким к точному решению. Например, на основании теоремы о среднем для гармонических функций в качестве хорошего начального приближения можно принять значение функции, полученное интерполяцией на область G значений

х

Рис. 4.6

функции в граничных узлах. Так, значение функции и(0) в центральной точке 1 (рис. 4.6) может быть взято как среднее арифметическое значений функции в граничных узлах a, b, с, d.

Сходимость итерационного процесса можно улучшить, если использовать итерационный процесс Зейделя в виде, например,

Члены с индексами - 1, п) и (т, п - 1) берутся из k-й итерации, т. е. в вычислениях используются уточненные значения функции в этих точках. Как легко понять из рис. 4.6, расчет по формуле (4.15) при движении, например, слева направо от границы области позволяет последовательно вычислить значения функции на слоях у = const (или х = const). Использование уточненных значений функции улучшает сходимость метода итераций и позволяет уменьшить требуемый для реализации метода объем оперативной памяти компьютера, так как в методе Зейделя не требуется одновременно хранить значение функции в каждой точке на двух итерациях. Итерации заканчиваются при выполнении условия max |u^ - ” **1 < е, где е — заданная по-

m. п * *

грешность определения решения.

В настоящее время распространены релаксационные методы решения системы (4.13), в которых итерационный процесс строится по формуле

в которой о) — параметр релаксации. В методе релаксации член сои*;» учитывает информацию о величине um п из предыдущей итерации. При со > 1 итерационный метод называется методом ВЕРХНЕЙ РЕЛАКСАЦИИ, при со = 1 — методом ПОЛНОЙ РЕЛАКСАЦИИ и при со < 1 — методом НИЖНЕЙ РЕЛАКСАЦИИ.

Можно показать, что число итераций I, необходимых для достижения заданной точности в рассматриваемой задаче, определяется соотношениями, приведенными в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Название метода

Число итераций I

Метод простой итерации

0,2А2]пе-'

Метод итераций Зейделя

0,1 A2lne~‘

Метод верхней релаксации

0,7А1п Е'1

Видно, что в методе верхней релаксации число итераций для достижения заданной точности линейно зависит от числа узлов N, тогда как в остальных методах зависимость квадратичная.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >