Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Посмотреть оригинал

Аппроксимация, устойчивость, сходимость разностных схем. Основные понятия

Рассмотрим некоторую задачу, определяемую дифференциальным уравнением и граничными условиями. Запишем ее в операторной форме

где через L обозначен некоторый дифференциальный оператор, действующий на искомую функцию и, через f — правая часть. Примем, что оператор L включает как дифференциальные уравнения, так и граничные условия. На некоторой разностной сетке строим разностный оператор Lh, действующий на сеточную функцию uh. Примером дифференциального оператора является оператор Лапласа Д, а соответствующий ему разностный оператор возникает при аппроксимации вторых производных разностными отношениями (4.9) и (4.10).

Величина 6/А называется НЕВЯЗКОЙ, и при подстановке точного решения уравнения (4.21) в оператор Lh имеем

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА называется АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ на решении, если норма невязки стремится к нулю при стремлении к нулю шага разностной схемы, т. е. ||б/А|| -» 0 при h -» 0.

Если при этом постоянная Ср не зависит от шага h и норма невязки удовлетворяет условию ||5/J| < СрЛр, то говорят, что разностная схема имеетр-й порядок аппроксимации или разностная схема аппроксимирует дифференциальный оператор с порядком р. Например, разностный оператор

Э2 Э2

аппроксимирует оператор Лапласа Д - т—т + —- со вторым по-

дх4 он4

рядком точности, *

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА называется СХОДЯЩЕЙСЯ, если норма разности точного и приближенного решений ||u - нА|| стремится к нулю при стремлении к нулю шага разностной сетки.

Если при этом ||и - нА[| < Cqh то говорят, что разностная схема имеет q-n порядок точности или имеет место сходимость с порядком q.

Порядок аппроксимации дифференциального уравнения не всегда совпадает с порядком точности разностной схемы, так как порядок точности разностной схемы зависит как от аппроксимации дифференциального уравнения, так и от аппроксимации граничных условий.

Не всякая аппроксимирующая схема является сходящейся. В связи с этим важным является понятие устойчивости разностной схемы.

УСТОЙЧИВОСТЬЮ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ называется непрерывная зависимость решения разностной задачи от правых частей и граничных условий.

Для линейного оператора схема устойчива, если ||ил|| < С||/л||, где С — постоянная, не зависящая от шага разностной сетки и входных условий f.

Поясним понятие устойчивости. Ошибки при вычислении начальных и граничных условий и правых частей уравнений из-за ошибок округления и других причин можно рассматривать как возмущения начальных и граничных условий и правых частей уравнений. Очевидно, что разностная краевая задача (или задача с начальными данными) будет корректной и устойчивой, если решение разностной краевой задачи будет незначительно изменяться при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными ошибками. В противном случае разностная краевая задача является неустойчивой. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем уменьшение шага сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают.

ТЕОРЕМА. Пусть разностная задача Lhuh = fh аппроксимирует оператор Lu = / на решении с порядком р и устойчива. Тогда решение uh сходится к точному решению и имеет место оценка ||u - uj < Cphp, где Ср — постоянная, не зависящая от шага Л и входных данных f.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы