Принцип максимума

Перепишем уравнение (4.26) в виде икт*1 = (1 - у)н* + тикт _ где у = т/Л. Так как у < 1, то в этом соотношении коэффициенты при значениях функций в правой части являются положительными числами и тогда соотношение (4.26) можно переписать в виде

Так как правая часть этого неравенства не зависит от значения т, то можно написать, что шах |а* + 1| < max |и* |. Применяя

т т

последовательно это неравенство, получаем неравенство

называемое ПРИНЦИПОМ МАКСИМУМА для разностной схемы. Сформулируем его.

Максимальное значение модуля решения разностной задачи достигается на границе области.

Для задачи Коши, которую мы рассматривали, максимальное значение достигается при 7 = 0. Таким образом, начальные возмущения затухают. Для схемы уголок вперед условие устойчивости по спектральному признаку и принципу максимума не будут выполнены.

Метод гармоник Фурье исследования устойчивости разностных схем

Метод гармоник Фурье занимает одно из центральных мест среди методов исследования устойчивости разностных схем. Он используется для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами на равномерной сетке. В методе гармоник Фурье при изучении устойчивости разностных схем рассматривается задача Коши относительно линейного модельного уравнения для возмущений (добавок) начальных данных и правых частей. При этом рассматриваются возмущения (гармоники) специального вида.

Исследуем метод гармоник Фурье на примере задачи Коши для уравнения переноса

Точное решение задачи можно записать в виде

где i = J-1. Решение задачи (4.28) представляется как суперпозиция бегущих монохроматических волн или гармоник вида uo(0)ei0(;,:" *>. Поскольку при разностной аппроксимации t = kx, х = mh, то соответствующую разностную гармонику можно представить в виде ц* = Xkeimnh, а решение разностного уравнения —

4 оа

в виде и* = ? СшХке'ытк. Здесь X — множитель, который выби-

рается таким образом, чтобы и? было решением разностной задачи, а со — номер гармоники в разложении в ряд Фурье — определяется из разложения начальной функции (начального возмущения) в рассматриваемый ряд.

Множитель X, называемый модулем перехода, в общем случае может быть комплексным числом и является показателем роста или затухания соответствующей гармоники. При значении |Л| > 1 начальные возмущения возрастают со временем, а при |А| < 1 они затухают. Очевидно, что разностная схема будет устойчивой при условии |Х| < 1, поскольку любые возмущения правых частей и

ФУРЬЕ ЖАН БАТИСТ ЖОЗЕФ (Fourier Jean Baptiste Joseph; 1768—1830) — французский математик, труды которого относятся к алгебре, методам численного решения уравнений и математической физике. Ф. вывел дифференциальное уравнение теплопроводности, разработал для решения этого уравнения метод разделения переменных (метод Фурье), в основе которого лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

начальных условий (ошибки округления, аппроксимации и т. д.) будут затухать, так как |е‘ш*| < 1.

Дж. фон Нейманом было сформулировано УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ: |Х| < 1 + О(т), которое в ряде случаев является необходимым, но не достаточным условием сходимости. Далее, однако, при изучении разностных схем будем использовать более жесткое условие: |А.| < 1.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >