Применение метода гармоник Фурье для исследования устойчивости разностных схем в уравнениях переноса

Для уравнения (4.22) рассмотрим пять разностных схем, шаблоны которых показаны на рис. 4.13: явный уголок вперед (рис. 4.13, а), явный уголок назад (рис. 4.13, б), явная схема второго порядка точности (рис. 4.13, в), явная схема Лакса (рис. 4.13, г) и неявный уголок назад (рис. 4.13, д). Светлыми точками выделены узлы, в которых решение известно, темными — узлы, в которых требуется определить решение.

Рис. 4.13

Выпишем некоторые вспомогательные формулы:

По формуле (4.23) разностная схема для явного уголка вперед имеет вид

Преобразуем схему (4.23) с учетом соотношений (4.30) к виду

и с использованием формул (4.29) — к виду Для квадрата модуля X имеем соотношение

из которого следует, что |Л| > 1 при любых т и Л, т. е. разностная схема (4.23) — явный уголок вперед — абсолютно неустойчива. Этот же результат был получен ранее из других соображений.

JIAKC ПЕТЕР Д. (Lax Peter D.; 1926) — американский математик, чьи основные труды относятся к теории дифференциальных уравнений с частными производными, функциональному анализу и прикладной математике. В вычислительной математике известен метод Лакса — Вендорфа для численного решения задачи одномерного нестационарного истечения идеального газа.

Выкладки, аналогичные проведенным для явного уголка вперед, дают

Из этого соотношения следует, что разностная схема (4.25) — явный уголок назад, как это было показано и ранее, условно устойчива при т/Л < 1.

Схемы (4.23) и (4.25) имеют первый порядок аппроксимации по т и h, так как отброшены члены порядка малости О (г, k)[1].

Рассмотрим явную схему второго порядка точности, про- иллюстированную рис. 4.13, в, в которой производная по х аппроксимируется со вторым порядком точности, т. е. отброшены члены малости 0(т, Л2). Разностная схема имеет вид

а для квадрата модуля X может быть получено соотношение

Для явного уголка назад (рис. 4.13,6) разностная схема по формуле (4.25) имеет вид

из которого следует, что разностная схема (4.31) абсолютно неустойчива при условии |Л| < 1. При условии |А.| < 1 + О(т) схему можно рассматривать как частично устойчивую, если т22 < Ст. Несмотря на повышение порядка аппроксимации по сравнению со схемой (4.23), при использовании условия |А| < 1 схема абсолютно неустойчива.

Для схемы Лакса разностная схема имеет вид

Схема Лакса имеет второй порядок точности по Л и является условно устойчивой при т/Л < 1. Эта схема обычно используется в задачах механики сплошных сред и принадлежит к схемам сквозного счета, так как позволяет без явного выделения проводить расчеты областей с поверхностями разрыва.

Для схемы неявный уголок назад (рис. 4.13, д) разностная схема имеет вид

В этой схеме значение |Л| < 1 при любом соотношении шагов, и, следовательно, схема абсолютно устойчива.

  • [1] Здесь и далее под записью «...отброшены члены порядка малости0(я, д)1 или «0(г, д, V)» подразумевается, что отброшенные члены стремятся к нулю при я 0, д -» 0, v -» О.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >