КОНЦЕПЦИИ РЫНКА КАПИТАЛА, ОСНОВАННЫЕ НА НЕПРЕРЫВНЫХ МОДЕЛЯХ

Основные классы случайных процессов, используемые в моделях рынка капитала

Нестабильность современных финансовых рынков заставляет пересмотреть многие традиционные схемы формирования инвестиционного портфеля, основанные на классических теориях рынках капитала. Дело в том, что традиционная портфельная теория и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля, становятся неадекватными.

Кроме того, инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода (периода управления портфелем), но и из текущего потребления в различные моменты времени. Инвестирование неотделимо от потребления, а инвестиционная стратегия в свою очередь требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды. Указанный факт также не может быть учтен в рамках классических теорий. Таким образом, возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности.

Следует подчеркнуть, что развитие теории рынка капитала на основе непрерывных моделей должно базироваться на устоявшихся и проверенных временем законах, основным из которых является постулат, выражающий стремление любого финансового актива эволюционировать к состоянию, соответствующему отсутствию арбитража.

В данном параграфе излагаются необходимые сведения из теории случайных процессов, а также основные методы решения стохастических дифференциальных уравнений.

Рассмотрим вопросы, связанные с определением случайных процессов и их основных характеристик.

Пусть дано основное вероятностное пространство (?2, F, Р), где Q — пространство элементарных событий; F — а-алгебра случайных событий; Р — вероятностная мера.

Случайным процессом называется семейство случайных величин X(w, t) = Х,(о)), заданное на вероятностном пространстве (Q, Р, Р). Параметр t обычно интерпретируется как время. Если t е {0, 1, 2,...}, то говорят, что Х,(ш) — процесс с дискретным временем; если же t е [0; 7], то А",(со) — процесс с непрерывным временем. В дальнейшем множество допустимых значений параметра t будем обозначать через V. Действительную функцию Xt(o)*) при фиксированном со* называют реализацией, или траекторией, случайного процесса. Если зафиксировать t = t*, то ХгДсо) является обычной случайной величиной, называемой сечением случайного процесса в момент времени t*. Функция распределения

задает распределение значений процесса в момент времени t. Однако наличие только Ft(x) при всех t е V не определяет полностью случайный процесс. Необходимо указать также всевозможные совместные распределения

где 0 < tl < t2 < ... < tn< Т, п = 1, 2.....

Важнейшими характеристиками случайных процессов являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайного процесса Х(со, t), t е V, называется функция Mx(t), равная математическому ожиданию сечения Х,(оо) данного процесса, т.е.

Дисперсией случайного процесса Х(со, t), t е V, называется функция Dx(t), равная дисперсии сечения Х,(со) данного процесса, т.е.

Дополнительно можно ввести понятие ковариационной функции Cx(tx, t2) случайного процесса, определяемой значениями ковариаций между сечениями процесса Х(ш,!,) в различные моменты времени:

Во многих приложениях финансовой математики особую роль играют случайные процессы с независимыми приращениями и стационарные случайные процессы. Случайный процесс Х(со, t), t е V, является процессом с независимыми приращениями, если при любых t{, t2, ..., tn е V, f, < < t2< ??? < tn, случайные величины

независимы. Случайные процессы с независимыми приращениями играют важную роль при моделировании динамики (эволюции) финансовых показателей. Это объясняется устоявшейся системой предпосылок относительно как процессов ценообразования, так и поведения инвесторов, принятых в явной или неявной форме в большинстве моделей финансовых рынков в непрерывном времени.

В большинстве моделей рынка капитала за отправную точку принимается выполнение в той или иной форме гипотезы эффективного рынка, которая заключается в предположении о том, что текущие рыночные цены отражают всю имеющуюся информацию о соответствующих активах. На эффективном финансовом рынке изменения цен активов могут происходить только из-за появления новой информации, которая, вообще говоря, непредсказуемая. Это означает, что изменения цен активов на таком рынке должны быть в некотором смысле независимы.

Случайный процесс Х(со, t), t е V, называется стационарным в узком смысле, если при любом временном сдвиге на величину т имеет место следующее равенство:

для любых совместных распределений.

Следует заметить, что приведенное ограничение на совместные вероятностные распределения процесса носит достаточно сильный характер, плохо проверяемо и в силу этого редко используется в прикладных исследованиях. В подобных задачах используются, как правило, те свойства процесса, которые описываются одними лишь характеристиками математического ожидания, дисперсии и ковариации. В связи с этим случайные процессы Хп имеющие постоянные значения математического ожидания Mx(t) = т, дисперсии Dx(t) = s2 и ковариационную функцию Cx(tv t2) = = cx(t2 - tx), зависящую только от длины интервала [t{, t2], для всех t> t{y t2 е V, называют стационарными процессами в широком смысле.

Из стационарности в узком смысле следует и стационарность в широком смысле, обратное, вообще говоря, неверно.

Наконец, выделим класс однородных случайных процессов. К данному классу принадлежат случайные процессы с независимыми приращениями, для которых распределение случайной величины Xt+h(co) - Хг(со) определяется лишь значением h и не зависит от t.

Рассмотрим более подробно основные виды случайных процессов, используемых в современных моделях финансовой математики, и их свойства.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >