Модель выбора оптимального инвестиционного портфеля с потреблением

Инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из текущего потребления в различные моменты времени. Инвестирование неотделимо от потребления, а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды. Указанные задачи не решались в классической теории портфеля. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности[1].

Основным отличием такого класса моделей является допущение возможности изменения структуры портфеля в течение периода управления. Тем самым объектом моделирования в данном случае является индивидуальный инвестор, который стремится максимизировать свою полезность путем выбора структуры инвестиционного портфеля и объема потребления на каждый момент времени.

Предположим, что инвестор выбирает непрерывный во времени процесс потребления 0 = (0,) и непрерывный процесс инвестирования и = (ut), t е [0; Т. Здесь 0, — размер средств, выводимых инвестором из управления для текущего потребления, а иг доля рискового актива в портфеле, составленном из рискового и безрискового активов. Целью инвестора является максимизация ожидаемой полезности потребления на инвестиционном горизонте [0; Т. Указанная полезность предполагается аддитивно сепарабельной по времени[2]:

где F(Q) — возрастающая и вогнутая функция полезности Неймана - Моргенштерна; р — субъективный дисконтирующий множитель инвестора, отражающий временные предпочтения относительно потребления во времени. Следует дополнительно отметить, что функция полезности является индивидуальной характеристикой каждого отдельного инвестора.

Следующая группа предпосылок содержит предположения относительно характера эволюции цен входящих в портфель активов. Будем считать, что динамика стоимости рискового актива описывается стохастическим дифференциальным уравнением (4.1), а безрискового актива — уравнением (4.2). Дополнительные издержки, связанные с формированием портфеля, и налоги отсутствуют.

Тогда стоимость портфеля, как и прежде, определяется соотношением

где at и bt соответственно количество рискового актива и облигаций в портфеле на момент времени t Хг и В{ цены указанных активов.

С учетом того что в каждый момент времени инвестор осуществляет потребление в размере 0, > 0, для изменения стоимости портфеля справедливо соотношение

utv; . (i-Mf)v,

Поскольку a, a bt =--LLJ~, получим

xt Bt

Стратегию потребления и инвестирования будем называть допустимой, если доля капитала, вкладываемого в рисковый актив, удовлетворяет соотношению

а стоимость портфеля Vt в любой момент времени t неотрицательна, т.е. выполняется неравенство

Допустимая стратегия (0*, и) называется оптимальной, если [/(0*, и) > > f/(0, и) для любой другой допустимой стратегии (0, и). Таким образом, задача выбора инвестором оптимального потребления и инвестирования в рисковые активы сводится к задаче максимизации функции (4.20) при ограничениях (4.22) и (4.23). Указанная задача относится к классу задач управления стохастическими системами.

С математической точки зрения постановка задачи в общем случае формулируется следующим образом. Задано стохастическое дифференциальное уравнение

где управляющая функция ut = u(t, xt), и целевая функция

Предполагается, что щ е U, где U — некоторая, как правило, замкнутая область допустимых управлений. Ставится задача о построении управляющей функции ut = u(t, xt), где xt наблюдаемая реализация случайного процесса хг, обеспечивающей максимальное значение целевой функции J(u).

Одним из основных методов построения управления стохастическими системами является метод динамического программирования[3]. С его помощью определение управления осуществляется на основе некоторого нелинейного уравнения в частных производных, называемого уравнением Веллмана.

В общем случае согласно принципу оптимальности Веллмана, оптимальное управление на каждый момент времени t необходимо выбирать таким образом, чтобы оптимальным было значение целевой функции (в общем случае сумма всех выигрышей, или полезностей) на оставшемся до конца периода управления временном отрезке [t; 7].

Введем в рассмотрение функцию Веллмана

где через Mtx обозначено математическое ожидание, вычисляемое при условии, что значение xt на текущий момент времени t известно и равно х.

Исходя из принципа оптимальности Веллмана имеет место соотношение

где х + dx соответствует значению xt на момент времени t + dt. В силу теоремы о среднем запишем

Применяя формулу Ито, перепишем последнее соотношение следующим образом:

Сокращая левую и правую часть полученного равенства на dt и используя свойство винеровского процесса, окончательно получим уравнение в частных производных относительно неизвестной функции V(ty х)

удовлетворяющей дополнительному условию

Соответственно максимальное значение целевой функции J(u) = У(0, х0), где х0 наблюдаемое значение xt на момент времени t = 0.

В случае когда решается не оптимизационная задача, а задача о вычислении определенного функционала на траекториях стохастического дифференциального уравнения, описанный подход приводит к уравнению

которое носит название уравнения Фейнмана — Каца.

В рассматриваемом конкретном случае функция Веллмана определяется следующим образом:

где MtV математическое ожидание, вычисляемое в момент времени t при условии, что стоимость портфеля на данный момент времени известна и равна V.

Применяя к функции (4.24) принцип оптимальности Веллмана, с учетом диффузионного стохастического процесса стоимости портфеля (4.21) получим следующее уравнение1:

•лт J

где Jr = V) Jv = V) Jvv = V). При этом, очевидно, вывод-

at av ovz

няется условие

Максимизация левой части уравнения (4.25) по 0, дает следующее условие первого порядка: F/(Qt) = eptJv. Это условие оптимальности устанавливает, что предельная полезность текущего потребления одной дополнительной единицы капитала должна равняться предельной полезности от оптимального инвестирования этой единицы с учетом дисконтирующего множителя, отражающего субъективный взгляд инвестора на ценность капитала во времени. Указанное условие приводит к следующему соотношению для оптимального объема потребления:

Максимизация левой части уравнения (4.25) но гадает оптимальную инвестиционную стратегию вложения капитала инвестора в рисковые активы:

Следует отметить, что множитель ——— представляет собой коэффи-

VJw

циент относительной терпимости к риску, который является обратным коэффициенту относительного неприятия риска Эрроу — Пратта. Таким образом, оптимальная доля инвестиций в рисковые активы определяется, с одной стороны, субъективным отношением конкретного инвестора к риску, а с другой — рыночными, т.е. одинаковыми для всех инвесторов, значениями параметров с, г и а. Поскольку значения указанных коэффициентов не меняются во времени, подобную ситуацию называют ситуацией постоянных инвестиционных возможностей.

Конкретные значения переменных, определяющих оптимальную стратегию инвестора, можно получить, задав определенный вид функции полезности потребления. Рассмотрим одну из возможных постановок такой задачи. Пусть функция полезности определяется соотношением

где 0 < у < 1 — заданный параметр. [4]

Для решения дифференциального уравнения (4.25) с условием (4.26) относительно функцииJ(t, V) воспользуемся методом разделения переменных. Представим функцию J(t, V) в виде

где g(t) — функция времени, подлежащая определению. Учитывая, что в данном конкретном случае

из соотношения (4.27) получим выражение для оптимального объема потребления

Коэффициент относительного неприятия риска Эрроу — Пратта для данного вида функции полезности определяется соотношением

Таким образом, коэффициент неприятия риска определяется только фиксированным значением параметра у. Поэтому функцию полезности вида (4.28) называют функцией полезности с постоянным коэффициентом относительно неприятия риска (или терпимости к риску).

В свою очередь, для оптимального распределения капитала инвестора в рисковые активы справедливо следующее выражение:

Для определения оптимального объема потребления 0^ необходимо найти функцию g(t), являющуюся решением обыкновенного дифференциального уравнения

— ?')-

где ? = —-+ г, при условии

аД1-у)

Решением задачи Коши (4.30), (4.31) является функция

подставив значение которой в формулу (4.29), получим размер оптимального потребления инвестора на момент времени t.

В заключение параграфа следует отметить, что, так же как и в результате решения задачи разделения портфеля в условиях стратегии самофинансирования, оптимальная инвестиционная стратегия состоит в поддержании части капитала ut, инвестированного в рисковый актив, постоянной во времени. Однако это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цены активов меняются с течением времени.

  • [1] CoxJ. С., Huang С. F. Optimal consumption and portfolio choices when asset prices followsa diffusion process //Journal of Economic Theory. 1989. Vol. 49. P. 33—83; Cox J. C.f Huang C. F.A variational problem arising in financial economics //Journal of Mathematical Economics. 1991.Vol. 20. P. 465—487; Karatzas /., Lehoczky J. P.t Shreve S. E. Optimal portfolio and consumptiondecisions for a «small investor» on a finite horizon //Journal of Control and Optimization. 1987.Vol. 25. P. 1557-1586.
  • [2] Merton R. C. Op. cit.
  • [3] Беллман Р. Динамическое программирование. М. : Изд-во иностранной литературы,1960.
  • [4] Дэвис М. X. Л. Линейное оценивание и стохастическое управление. М. : Наука, 1984; Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическимисистемами. М.: Мир, 1978.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >