Опционные контракты на несколько видов базовых активов

Рассмотрим условный рынок, представленный тремя активами. Первые два актива — рисковые, при этом их цены, S{ и S2 соответственно, отвечают случайным процессам, заданным как решения следующих стохастических дифференциальных уравнений:

где a{(t, со), a2(t, со) — случайные функции времени; с2 постоянные коэффициенты волатильности; Wx(t), W2(t) — стандартные винеровские процессы, имеющие коэффициент корреляции р. Третий актив является безрисковым с ценой B(t), определенной соотношением

где г > 0 — мгновенная процентная ставка, определяющая доходность безрискового вложения.

Напомним стандартный подход в определении стоимости платежного обязательства вида х = ср(5'1(7^, S2(T)), гарантирующего его держателю определенную выплату на момент времени Т исходя из заранее оговоренной платежной функции (р. Предположим, что цена такого финансового инструмента на момент времени t е [0; 7] определяется как некоторая функция F , 5,(7), 52(Т)), где 7*': М+х R2 —> К. Воспользуемся формулой Ито для вывода уравнения, задающего динамику /•’(/) = F(t, 5,(7), 52(7)):

dF(t) = aF(t, u>)F(t)dt + an(t, U))F(t)dW{(t) + oF2(t, u>)F(t)dW2(t), (4.55)

где

Далее сформируем самофинансируемый портфель стоимостью V, состоящий из указанных рисковых активов, безрискового актива и определенной доли рассматриваемого платежного обязательства. Относительные веса указанных активов в портфеле будем обозначать как uv и2, ив и uF, при этом их + и2 + ив + uF = 1. Условие самофинансируемости обеспечивается выполнением следующего тождества:

Подставляя в тождество (4.56) правые части уравнений (4.52), (4.53), (4.55) и группируя слагаемые при одинаковых дифференциалах, получим

Будем выбирать веса таким образом, чтобы рассматриваемый портфель на каждый момент времени t был безрисковым, т.е. выполнялись условия w,a, + UpOpi = 0 и и2а2 + иь<3р2 = 0, и имел доходность выше рыночной г на величину 8 > 0, что соответствует справедливости соотношений

Однако в рамках рассматриваемой модели нас интересует цена платежного обязательства %, не допускающая появления арбитража на рынке. Следовательно, полученная система уравнений не должна иметь решений, и, соответственно, ее матрица коэффициентов должна быть вырожденной, что обеспечивается выполнением условий

для некоторых вещественных чисел Xt, Х2. Подставляя в формулу (4.59) значения Х2 из соотношений (4.57), (4.58), а также выражения для aF,

a Pi, Gp2, относящиеся к уравнению (4.55), приходим к уравнению в частных производных с дополнительным условием относительно функции F(t, 5*2):

Дополнительное условие в соотношении (4.60) задано таким образом, чтобы выполнялось равенство

обеспечивающее требуемую выплату на момент времени Т.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >