Оценка влияния корреляции базовых активов на функцию выплат

Предположим теперь, что при определении цены % мы пренебрегаем наличием корреляции между Wx и W2, т.е. полагаем р = 0. В таком случае стоимость платежного обязательства считается равной F(t, Sx(t),S2(t)), где F является решением задачи

Безусловно, определяемая таким образом стоимость является приближенной. Как задача (4.60), так и задача (4.61) допускают известные явные решения, основанные на переходе к новым переменным х,- = In5;, i = 1,2, и обращении времени. Таким образом, исходные задачи сводятся к решению задачи Коши для параболического уравнения с постоянными коэффициентами на плоскости х, х2). Однако определение точных значений соответствующих коэффициентов корреляции для цен финансовых активов представляется весьма затруднительным, поскольку их изменение, как правило, носит хаотичный и сильно нестационарный характер. Поэтому цель настоящего параграфа заключается в том, чтобы дать грубую априорную оценку сверху возможного влияния указанной корреляции цен базовых активов на конечную стоимость определенного выше платежного обязательства.

Как было указано выше, для определения стоимости платежного обязательства мы пользуемся упрощенной моделью, не учитывающей корреляции между управляющими винеровскими процессами цен S{ и S2. В таком случае на начальный момент времени цена х полагается равной x,s2) = P(0,sx,s2), где sx = 5t(0), s2 = 52(0), a F является решением задачи (4.61). Стоимость опциона с такой начальной стоимостью, очевидно, будет равняться F(t,S1(t),S2(t)), t е [0; 7], где функция F должна удовлетворять следующим соотношениям:

Таким образом, мы получаем соотношения (4.62) из (4.60), заменив исходное условие на правом конце отрезка приближенным условием на начальный момент времени. Ошибку в определении стоимости опциона будем обозначать как

При этом G(t, S,, s2) отвечает следующим зависимостям:

Учитывая это, платежная функция, отвечающая начальной стоимости ФоОц, *2)> будет равна cp(st, s2) = G(T, s{,s2) + (p(.s*j, s2).

Для решения уравнений (4.63) проделаем следующие замены:

в результате чего придем к следующей некорректной задаче:

Для дальнейшего изложения нам потребуется теорема 3.6, доказанная в гл. 3, связывающая функции п и q. Соответственно, исходная задача (4.64) может быть сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода с разностным ядром, полученным в параграфе 3.5:

где

и

Численный метод решения уравнения (4.65) приведен в параграфе 3.5. Приведем пример использования изложенного выше подхода. В качестве платежного обязательства будем рассматривать опцион обмена активами, гарантирующий своему владельцу выплату % = ф(51(Т), 52(Г)) = = тах(51(Г) - 52(7), 0). Поскольку его платежная функция ср является положительно однородной порядка 1, то даже для случая ненулевой корреляции р возможно аналитически выписать выражение для стоимости опциона — в момент времени t е [0; 7] его цена равна F(t, 5t(?), S2(t)), где

Здесь Ф — функция распределения нормальной случайной величины со средним 0 и дисперсией 1 и

Параметры выберем следующим образом: Т= 1, = 0,3, а2= 0,4, р = 0,55.

На начальный момент времени разница в ценах опциона при р = 0 и р = 0,55 изображена на рис. 4.1. Ясно, что стоимость опциона обмена дороже для некоррелированых активов, при этом чем выше начальная стоимость акций, тем больше разница в стоимостях.

Ошибка в цене опциона на начальный момент времени

Рис. 4.1. Ошибка в цене опциона на начальный момент времени

Для численной реализации изложенного подхода введем равномерную сетку 512i12 на прямоугольнике В = [-3; 3] х [-3; 3] (рис. 4.2, на рисунке сетка дана «с запасом»).

Ядро интегрального уравнения

Рис. 4.2. Ядро интегрального уравнения

Решим интегральное уравнение при помощи минимизации функционала Тихонова с последующим выбором параметра а по обобщенному принципу невязки и перейдем к функции G(lxvx2) = u^( x{y x2). Результат вычислений изображен на рис. 4.3.

Отклонение платежной функции от заданной

Рис. 4.3. Отклонение платежной функции от заданной

Полученные значения G показывают, на сколько выплаты но обяза- тельству х, стоимость которого вычислена в предположении об отсутствии корреляции между ценами базовых активов, должны отличаться от выплат согласно платежной функции ф. Модифицированный вариант платежной функции (рис. 4.4) определяется как Исходная платежная функция и ее модифицированный вариант

Рис. 4.4. Исходная платежная функция и ее модифицированный вариант

В качестве другого примера рассмотрим функцию выплат, отвечающую опциону типа «светофор»[1]. В этом случае

при этом г = 0,05, Т = 1, а, = а2 = 0,3 и р = 0,5.

Построение численного решения интегрального уравнения, аналогичного уравнению (4.65), но отвечающего ненулевому дополнительному условию, позволяет оценить отклонение F(0, xv x2)-ty(xvx2) функции выплат от исходной, как это показано на рис. 4.5. Одновременно функции выплат у(х{2) и F(0,xvx2) представлены на рис. 4.6. Любопытно отметить, что, несмотря на весьма большое значение коэффициента корреляции р, функции выплат заметно отличаются только в малой окрестности точки с координатами xt = x2~ 1,272, отвечающей ценам S{ = S2~ 3,57. Соответствующая область выделена отдельным цветом на рис. 4.5 и 4.6.

Отклонение функции выплат

Рис. 4.5. Отклонение функции выплат

Функции выплат

Рис. 4.6. Функции выплат

  • [1] С теоретической точки зрения данный опцион подробно проанализирован в работе:Jorgensen Р. L. Traffic light options //Journal of Banking & Finance. 2007. Vol. 31. № 12.P. 3698-3719.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >