УПРАВЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ НА ФИНАНСОВЫХ РЫНКАХ В РАМКАХ ПОДХОДА, АЛЬТЕРНАТИВНОГО СТРАТЕГИИ САМОФИНАНСИРОВАНИЯ

Постановка задачи и основной результат

Первоначально будем рассматривать простейший вариант инвестиционного портфеля, включающего только один вид финансового актива. Будем исходить из того, что цена актива х, является случайным процессом на временном интервале [0; Г] и удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

где коэффициент волатильности о, = a(t, со) и коэффициент сноса с, = = c(t, со), вообще говоря, — измеримые случайные функции времени; W, - стандартный винеровский процесс.

Стоимость портфеля определим формулой

где at = a(t, со) является измеримой случайной функцией, определяющей количество актива в портфеле; mt = m(t, со) — измеримая случайная функция, соответствующая некоторому денежному эквиваленту, экономический смысл которого дан ниже.

В дальнейшем во избежание недоразумений реализацию того или иного случайного процесса, в отличие от него самого, будем обозначать соответствующей буквой с волной, как, например, хг и х(.

Будем исходить из стратегии управления, определяемой на каждый момент времени t соотношением

где dxt определяется правой частью уравнения (5.1), при этом предполагается существование стохастического дифференциала dft.

Второе слагаемое в зависимости (5.3) будем интерпретировать как инвестированный и освоенный системой управления за время dt денежный поток, при этом l{t, xt) > 0. Поэтому l(t, xt) имеет смысл регулятора изменения количества осваиваемых системой управления наличных денег, поступающих в качестве инвестиций, и выступает в роли управляющей функции.

Применяя к левой и правой частям соотношения (5.2) процедуру вычисления стохастического дифференциала, которая предполагает существование стохастических дифференциалов dat и dmt, получаем следующую формулу:

Последнее соотношение с использованием зависимости (5.3) может быть переписано в виде

где xt+(jt определяется как xt+(jt=xt + dxt, или в интегральной форме

Достаточные условия существования стохастического интеграла в формуле (5.4) в виде предела соответствующих сумм будут выяснены ниже.

Первое слагаемое в формуле (5.4), взятое без знака «минус», характеризует стоимость актива с учетом осуществленных на момент времени t е е [0; 7] торговых операций, т.е. себестоимость портфеля.

Определим прибыль р( при наблюдаемом значении цены xt как разность между текущей стоимостью портфеля и его себестоимостью, т.е.

В дальнейшем прибыль, определяемую по формуле (5.5), будем называть реальной прибылью.

С учетом формул (5.2)—(5.4) последняя зависимость эквивалентна соотношению

где ft соответствует стоимости портфеля при наблюдаемом значении цены.

Соответственно, прибыль, вычисляемую исходя из соотношения (5.6), будем называть теоретической прибылью.

Заметим, что использование указанной терминологии связано с тем, что при известном реестре сделок at и наблюдаемом изменении цены xt прибыль по формуле (5.5) может быть подсчитана непосредственно без использования той или иной модели ценообразования. В то же время вычисление прибыли по формуле (5.6) требует для построения функции fv как будет ясно из дальнейшего, выбор конкретной модели ценообразования рассматриваемого финансового актива.

На начальный момент времени портфель предполагается пустым, т.е. не содержащим ни наличных денег, ни рассматриваемого финансового актива.

Введем в рассмотрение понятия нижнего и верхнего порога чувствительности, которые представляют собой соответствующие границы ценового коридора, симметричного относительно цены первой совершенной системой управления сделки. В дальнейшем будем предполагать, что в течение рассматриваемого периода управления [0; 7] наблюдаемые значения цены актива будут оставаться внутри выбираемого ценового коридора. Данное предположение несет в себе риск пробития наблюдаемой ценой актива одной из границ ценового коридора. Ниже будет показано, что увеличение ширины ценового коридора, т.е. уменьшение вероятности его пробития, ведет к уменьшению нормы доходности портфеля. Для удобства вычислений будем нормировать цены сделок относительно нижнего порога чувствительности и обозначать соответствующий ценовой коридор в виде интервала (1; (3), где фиксированное значение |3 > 1.

Будем говорить, что управление обеспечивает прибыльность инвестиционного портфеля на временном промежутке [0; 7], если рт >0.

Поставим задачу о существовании и построении управления портфелем, обеспечивающего его прибыльность на заданном временном промежутке [0; Т. В данной главе мы ограничимся случаем, когда система управления на всем промежутке времени [0; 7] занимает только длинную позицию, т.е. at> 0 для любого te [0; 7].

Теорема 5.1. Пусть па временном промежутке [0; Т, где Т> 0, выполняются следующие условия.

  • 1. Цена актива хг удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (5.1), при этом волатильность о, = o(t) может изменяться как неизвестная априори функция времени и не зависит от случайного процесса xt, соответственно а, = дг
  • 2. Для интегральной волатильности имеет место условие роста т

J ajds > у (7 - т) для любого те [ 0; 7], где у — строго положительное число. т

3. Наблюдаемое значение цены xt не выходит из границ ценового коридора (1; (3), где (3 > 1 является любым конечным числом.

Тогда если фиксированным Т и (3 отвечает достаточно большое у, то существует управление инвестиционным портфелем, обеспечивающее его прибыльность на временном промежутке [0; 7]. Более того, в рамках такого управления количество актива в портфеле на каждый момент времени зависит только от цен совершенных на данный момент времени сделок и не зависит явно от значений волатильности и коэффициента сноса c(t, со).

Для доказательства сформулированной теоремы рассмотрим некоторое вспомогательное утверждение.

Поставим задачу определения первой собственной функции ср(х), отвечающей первому собственному числу следующей задачи Штурма — Лиувилля:

Лемма 5.1. Единственное решение задачи (5.7), (5.8) определяется функцией ф(х) = Vxsin(/;lnx), где b является минимальным строго положительным корнем уравнения

при этом = Ь2 +^.

Доказательство. Известно, что общее решение уравнения (5.7) имеет следующий вид[1]:

1

где 2+—. Исходя из соотношения (5.10) с учетом граничных условий (5.8) получим относительно b уравнение (5.9).

Введем в рассмотрение новую переменную z = 61п(3 и перепишем уравнение (5.9) следующим образом:

Графическое решение но определению наименьшего строго положительного корня трансцендентного уравнения (5.11) представлено на рис. 5.1.

Графическое решение трансцендентного уравнения ?

Рис. 5.1. Графическое решение трансцендентного уравнения ?

Отметим, что выбор именно первого собственного числа задачи Штурма — Лиувилля (5.7), (5.8), как нетрудно убедиться, обеспечивает отличие от нуля соответствующей собственной функции внутри ценового коридора (1; (3).

Доказательство теоремы 5.1. Будем искать неизвестную функцию ft в виде ft = f(ty xt), где xt удовлетворяет уравнению (5.1). Применяя к функции f(t, xt) формулу Ито и сравнивая ее с соотношением (5.3), получим зависимости

Управление /(?, xt) будем искать в виде

где ф(.г) представляет собой собственную функцию, отвечающую первому собственному числу задачи Штурма — Лиувилля (5.7), (5.8).

Структура функции r(t) будет определена ниже.

Поскольку на начальный момент управления t = 0 портфель является пустым, го

Кроме того, зададим следующие граничные условия:

В силу соотношения (5.13) выполнение граничного условия (5.16) означает, что система управления занимает длинную позицию, т.е. at > О, то она стремится полностью избавиться от актива, если цена приближается к верхнему порогу чувствительности.

Суть граничного условия (5.17) заключается в том, что при стремлении цены актива к нижней границе полосы чувствительности высвобождающиеся в результате осуществляемых продаж наличные деньги вкладываются в приобретение активов, а именно, аг —> при xt —> 1, что в силу

xt

соотношения (5.2) в точности соответствует выполнению граничного условия (5.17).

С учетом соотношения (5.14) будем искать решение смешанной задачи (5.12), (5.15)—(5.17) методом разделения переменных в виде /(?, xt) = K(t) cp(xr), где K(t) представляет собой неизвестную функцию.

В результате несложных преобразований получим соотношение

Соотношения (5.13), (5.18) определяют количество актива в портфеле в соответствии с формулой

Разобьем отрезок [0; 7] на п частей следующим образом: 0 = 70 < 1 < ... < < Т„ = Т.

Определим функцию г(т) как предел поточечно сходящейся к ней последовательности функций г„(т), задаваемых соотношением

где т е (Тм; 7)]; м„(т) — заданные функции, при этом последовательность {ц„(т)} при п —> +°° в условиях равномерного дробления предполагается поточечно сходящейся к некоторой функции и(т).

Подставляя в формулу (5.19) вместо г(т) последовательность (5.20), получим

или

Осуществляя предельный переход при п—>+ °° и условии равномерного дробления, окончательно получим формулу, определяющую непрерывное распределение количества актива во времени при наблюдаемом значении цены xt:

Исходя из соотношений (5.6), (5.14), (5.18), (5.20), аналогичным образом получим формулу, определяющую прибыль, соответствующую наблюдаемым значениям цены хп на момент времени Т:

Отметим, что указанный выше переход к управляющей функции u(t) позволяет устранить в формуле (5.21) явную зависимость от коэффициентов уравнения (5.1), а во втором слагаемом в формуле (5.22), ответаю- щем общему объему инвестированных в портфель и освоенных системой управления на момент времени Т денежных средств, явную зависимость от цены Х(.

Наконец, обратим внимание на то, что если управление и(1) представляет собой, например, некоторую априори заданную кусочно-постоянную неотрицательную функцию, не обращающуюся тождественно в нуль, то первое слагаемое в формуле (5.22) является некоторым строго положительным числом, в то время как второе слагаемое по модулю может быть выбрано сколь угодно малым в силу второго условия теоремы. Таким образом, построенное управление обеспечивает прибыльность инвестиционного портфеля на временном промежутке [0; 7], что и завершает доказательство теоремы. ?

Замечание 5.1. Важно отметить, что в соотношение (5.21) явным образом не входят не только с но и волатильность о, из уравнения (5.1). Таким образом, для построения искомого управления, определяющего требуемое количество актива в портфеле на каждый момент времени ty вообще говоря, нет необходимости идентифицировать указанные величины для обеспечения прибыльности инвестиционного портфеля, хотя, как ясно из соотношения (5.22), увеличение накопленной волатильности ведет к существенному росту самой прибыли.

Замечание 5.2. Легко убедиться в том, что неотрицательные значения функции и{1) соответствуют тому, что система управления занимает длинную позицию, т.е. а(> 0 для любого t.

Замечание 5.3. Отметим, что построенное управление обеспечивает при выполнении определенных условий прибыльность портфеля, но при этом оптимальность такого управления не гарантируется. Другими словами, возможно существование другого управления, обеспечивающего более высокую прибыльность портфеля.

Замечание 5.4. Обратим внимание на то, что стохастический интеграл в правой части формулы (5.5) рассматривается как предел последовательности соответствующих сумм

при t е (Tj_x Г;], полученных в процессе дробления временного интервала [0; Г]: 0 = Г0 < Г, < ... < Тп = Г и сходящихся по норме L2[0; 7] при п —> °о. Здесь значения ат = a(TiyxT) определяются формулой (5.21). Таким образом, предположение о сходимости сумм (5.23) в норме Ь2[0; 7] накладывает определенные ограничения на случайный процесс xt. При использовании формулы Ито стохастический интеграл в правой части соотношения (5.4) может быть представлен в виде суммы римановского интеграла, определенного на траекториях случайного процесса xv и интеграла Ито:

где |/j и |/2 являются гладкими функциями, определяемыми соотношением at= a(ty xt) в соответствии с формулой

Таким образом, чтобы обеспечить существование интегралов в зависимости (5.24), можно использовать стандартные достаточные условия в виде ограничений либо на сам процесс xt, либо на коэффициенты ct и at стохастического дифференциального уравнения (5.1). Как будет показано в гл. 8, существование интегралов в правой части формулы (5.24) при t е [0; Т] гарантирует сходимость сумм (5.23) в норме L2[0; Т] почти наверное.

Замечание 5.5. Обратим внимание на то, что волатильность может рассматриваться и как случайная функция времени o(t, со), не зависящая от процесса xt, при этом пороговое значение у, обеспечивающее справедливость утверждения теоремы 5.1, может быть индивидуальным для каждой конкретной реализации соответствующего случайного процесса.

Замечание 5.6. Отметим, что при построении управления инвестиционным портфелем допускается расширение изначально заданного ценового коридора (1; (3) в ситуации, когда цена выходит за его пределы. В этом случае необходимо задать новое значение (3 и, как следствие, новое значение b в формуле (5.21). В то же время на основе уже имеющегося реестра совершенных сделок, определяемых зависимостью ап подбирается функция управления u(t) в результате решения интегрального уравнения из параграфа 5.6. Последнее уравнение представляет собой некорректную задачу, методы решения которой описаны в гл. 3.

  • [1] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука,1971.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >