Расчёт волновой зубчатой передачи с промежуточным телом змеевидной пружины

Для приводимых далее расчётов рассматриваемой передачи в основу положена идеализированная схема передачи гибкими колесами, принятая Н. А. Ковалёвым [12], который отмстил основные отличия передачи со змеевидной пружиной:

  • • зубчатый венец составного колеса, состоящий из витков змеевидной пружины, выполнен отдельно от тонкостенного стакана, роль которого выполняет наружное кольцо гибкого подшипника;
  • • зубчатый венец имеет малые жёсткости в продольном и поперечном сечениях в пределах зазоров между витками пружины и стенками пазов обоймы;
  • • упругая линия зубчатого венца составного колеса является эквидистантной упругой линией внутреннего кольца гибкого подшипника в зонах зацепления;
  • • срединная линия составного колеса будет та, которая проходит через точки, лежащие на середине связей между витками пружины. Под теорией зацепления передач гибкими колёсами понимается

определение зазоров между профилями зубьев колёс передачи в предположениях, принятых в работе II.А. Ковалёва [12], при отсутствии дополнительной локальной деформации зубьев, обусловленной перечисленными отличиями данной передачи. Кроме того, в передаче со змеевидной пружиной деформация составного колеса имеет одинаковое значение по длине зуба, так как отсутствует связь, вызванная наличием донышка колеса обычной передачи. Разворотом зуба вследствие малой жёсткости связей между витками можно пренебречь. Поэтому данное зубчатое зацепление можно рассматривать как плоское.

В дальнейшем выберем систему координат в поперечном расчётном сечении и свяжем с каждым колесом (жёстким и составным) свою систему координат. При работе передачи с неподвижным генератором волн обе эти координатные системы вращаются с угловыми скоростями со 1 и (02, где 1 - индекс колеса с внешними зубьями, а 2 - с внутренними. Относительное положение точек обоих колёс вследствие их упругости определяется не только кинематикой, т. е. угловыми скоростями, но и деформацией, которую они испытывают при нагружении передачи силами распора от генератора и крутящим моментом.

Упругими смещениями жёсткого колеса, которые при некоторых разновидностях классических передач могут иметь тот же порядок, что и гибкое колесо, в передаче этого вида можно пренебречь, так как генератор выполнен в виде упругого кольца и его деформация сжатия несоизмерима с деформацией изгиба жёсткого колеса.

Если рассмотреть передачу в один и тот же момент времени, но при разных значениях крутящего момента (рис. 1.25, а), то относительный поворот 2 координатных систем обоих колес будет зависеть только от значения крутящих моментов Гкр. Форма составного колеса определится

упругим смещением любой точки срединной поверхности из её начального положения М (рис. 1.25, б) в новое положение М Это смещение имеет две составляющие: радиальную W и тангенциальную V (принятые положительные направления показаны на рис. 1.25, б). Присвоим каждому из зубьев свой номер /, свяжем с ним локальную систему координат с началом в точке пересечения М, оси зуба со срединной поверхностью (рис. 1.25, а) и направим оси этой локальной системы по внешней нормали и по касательной к упругой линии, т. е. к линии сечения деформированной срединной поверхности расчётной плоскостью сечения. Угол между осью зуба (или нормалью к упругой линии в точке М,) и радиус-вектором ri точки М,- обозначим к; положение точки в основной координатной системе определяется координатой (р,.

Система координат волновой передачи со змеевидной пружиной

Рис. 1.25. Система координат волновой передачи со змеевидной пружиной

Таким образом, относительное положение колёс передачи как твёрдых тел определяется относительным положением двух основных координатных систем (углом 12), а упругая форма каждого колеса -

сочетанием упругих смещений У((р), ^(<р) и v( относительно этих

систем. Наиболее рационально пользоваться выбранной системой, принимая каждый раз за исходное состояние то, которое было до деформации, т. е. когда упругая линия была окружностью.

Введённой координатной системой для каждой формы упругой линии гибкого колеса можно найти боковой зазор J. между профилями

пары зубьев. Под значением j. понимается наименьшее расстояние между профилями, измеренное по общей к обоим профилям нормали.

Для нашей передачи зазор ji есть функция упругих смещений срединной линии составного колеса и угла относительного поворота колёс, т. е.

где для данных условий нагружения упругие смещения есть функции угла {, при этом

поэтому, в принципе, выражение для j. можно представить как

j =f{

где х1 - некоторая константа, соответствующая данному крутящему

моменту Гкр, (p-,i - независимая переменная.

При j = 0 получим уравнение упругой линии, соответствующей данным формам профилей зубьев, которое содержит производные угла и является дифференциальным уравнением. Упругая линия формируется под действием давления зубьев и не является жёстко заданной, поэтому она самопроизвольно приспосабливается к профилям зубьев. Анализ сопряженной упругой линии при эвольвентных профилях зубьев показывает, что в передачах происходит контакт кромки зуба гибкого колеса с боковой поверхностью зуба жёсткого колеса или, наоборот, контакт кромки зуба жёсткого колеса с боковой поверхностью гибкого колеса [12]. Это происходит до притупления контактирующих кромок зубьев. Спрогнозировать и рассчитать форму кромок после приработки невозможно, поэтому теоретический анализ можно проводить только для неизношенных кромок. Кроме того, отличие эвольвентного профиля от прямолинейного, при больших числах зубьев, которые обычно используют в волновых передачах, крайне незначительно. Стрела выпуклости профиля эвольвентного зуба

где ha - высота головки зуба: тп - нормальный модуль.

Стрела выпуклости профиля впадины зуба жёсткого колеса или профиля зуба составного колеса, при Z > 170, равна 0,006 мм. Это сравнимо с допуском на погрешность профиля зуба для седьмой степени точности, который равен 0,009 мм. С учетом этого рабочий профиль витков змеевидной пружины принят прямолинейным, а профиль зубьев жёсткого колеса эвольвентным, что позволило упростить технологию изготовления зубчатых венцов волновой передачи без ухудшения качества передачи. Уменьшение величины деформации гибкого колеса увеличивает многопарность зацепления. Для этой цели рекомендуется уменьшать высоту головки зуба. При этом в волновых передачах с уменьшенной диаметральной деформацией гибкого колеса можно применять зубья прямолинейного и стандартного эвольвентного профиля с углом зацепления 20° и 30°.

Для силового расчёта передачи достаточно провести его в одном сечении.

Упругий натяг в зоне зацепления создается внутренними кольцами гибкого подшипника, причем он образуется на конечной дуге, т. е. на достаточно большой поверхности. В этом случае рекомендуется силы взаимодействия гибких колец подшипника, змеевидной пружины и жёсткого колеса представлять распределёнными давлениями или группой сосредоточенных сил, в частности двумя силами, приложенными к концам дуги контакта.

Генератор волн рассчитываемой передачи уже в процессе регулировки (сборки) создает упругую линию составного колеса, которая на дуге контакта составного и жёсткого колёс сопрягает некоторое количество профилей зубьев колес, при деформации упругие формы составного и жёсткого колеса, а также гибкого подшипника определяются действующими на каждый элемент силами. Точками приложения этих сил являются точки контакта. Вследствие местной контактной деформации соприкосновение происходит по некоторым участкам поверхностей - пятнам контакта.

Для построения исходной физической модели, пригодной для математического описания, необходимо некоторое упрощение. Как отмечалось выше, передачу можно отнести к плоским, следовательно для силового расчёта передачи достаточно провести его в одном сечении.

Основной задачей силового расчёта рассматриваемой передачи, как и классических волновых, является определение структуры зон зацепления и контакта, а также распределение сил взаимодействия, заключающееся в расчёте упругих перемещений в условиях исчезающих и появляющихся зазоров в зацеплении, в генераторе и между генератором и составным колесом.

Трудность решения этой задачи заключается в необходимости знать положение действующих сил, т. е. структуру зон контакта, которая зависит от упругих смещений. Чаще всего используются два основных направления идеализации исходной модели. Можно представить, что в пределах каждой из зон контакта число пятен контакта бесконечно велико, тогда получим представление о непрерывных зонах контакта. Также можно предположить, что контакт возможен только на ограниченном числе точек, между которыми исключено соприкосновение тел. Первая из этих схем называется моделью с распределёнными параметрами, вторая - моделью с сосредоточенными параметрами (или дискретной моделью). Обе эти модели не имеют адекватного физического аналога: их следует рассматривать только как абстракцию, используемую для облегчения вычислительной процедуры.

Для передачи со змеевидной пружиной и регулируемым гибким генератором удобнее выбрать в качестве расчётной схемы модель с распределёнными параметрами. Для идеализации передачи будем полагать, что сосредоточенное давление на зуб колеса заменяется распределённым давлением на воображаемую поверхность по длине, равной шагу зубьев. Аналогично предполагаем, что и в гибком подшипнике давление на шарик и шарика на кольца заменяется распределённым давлением на всю поверхность колец между шариками. Любую точку из воображаемых поверхностей наделяем свойствами, которыми в действительности обладают лишь зубья или шарики, например реакция, направленная по нормали к боковой поверхности зуба и т. д. Существенное отличие этой модели от дискретной состоит в том, что относительное положение точек контакта не связано с шагом зубьев или тел качения и не кратно ему, а совершенно произвольно, поэтому расчётная точка контакта может располагаться там, где нет зуба или шарика.

В прецизионных передачах важно обеспечить минимальные значения статических и динамических ошибок (точность), малую инерционность кинематической цепи, а также уменьшить вредное влияние нелинейностей в звеньях редуктора (зазоров в сопряжениях, зон нечувствительности и др.) [5, 13-16].

Выполнению этих условий максимально удовлетворяет волновая передача с промежуточным телом змеевидной пружины (рис. 1.4). Генератор передачи обеспечивает упругий натяг в зоне зацепления в течение длительного периода.

В отличие от большинства волновых зубчатых передач, генератор задаёт силу давления на гибкое колесо, как у фрикционной передачи, а нс радиальное смещение. При достаточном радиальном давлении на поверхность соприкосновения зубьев колёс достигается устранение зазоров в зацеплении. В общем виде давление генератора рассчитывается как Q - kWu, где к - жёсткость внутреннего кольца гибкого подшипника; Wa - радиальное смещение в точках стягивания кольца (положительным принято направление к центру стягивания кольца).

На рис. 1.26 схематично приведено поперечное сечение передачи. Внутреннее кольцо I гибкого подшипника деформируется силами Q,

в овал. Через шарики 2 давление передастся на пружинное кольцо 3 и далее на витки змеевидной пружины 4, которые взаимодействуют с зубьями жёсткого колеса 5. Деформация кольца 1 продолжается до появления зоны зацепления на дуге с центральным углом 26.

Схема поперечного сечения волновой передачи со змеевидной пружиной

Рис. 1.26. Схема поперечного сечения волновой передачи со змеевидной пружиной

Для проведения дальнейших расчетов упростим схему передачи, представив, что кольцо 1 при деформации опирается на жесткое кольцо, внутренний диаметр которого уменьшен на высоту витков пружины 4, толщину кольца 3 и диаметр шариков 2. Получим схему, представленную на рис. 1.27. Окружную силу Р и нормальное давление QN, действующие со стороны жесткого колеса, условно перенесем в одну точку. При перемещении генератора на угол и наличии силы Р возникает предварительное упругое скручивание гибкого кольца для преодоления этой силы. Обозначим угол скручивания у/ .

К расчету волновой передачи

Рис. 1.27. К расчету волновой передачи

Рассмотрим общий случай, когда РФ 0, у/ Ф 0. Воспользуемся общими методами расчёта статически неопределимых стержневых систем, вычисляя лишние неизвестные по методу Мора. При этом удобнее разложить действительную схему нагружения на две: симметричную (рис. 1.28) и кососимметричную (рис. 1.29).

Симметричная схема нагружения

Рис. 1.28. Симметричная схема нагружения

После отсечения плоскостью аа нижней половины кольца, приложим к поперечному сечению верхней половины кольца продольную неизвестную силу X и неизвестный момент Zr0, увеличивающий кривизну (рис. 1.28), а также неизвестную поперечную силу Y (рис. 1.29).

Кососимметричная схема нагружения 49

Рис. 1.29. Кососимметричная схема нагружения 49

Пропуская промежуточные зависимости, для симметричной схемы получим выражения для определения этих сил:

где г0 - средний радиус гибкого колеса до его деформации; г, - радиус жёсткого кольца, уменьшенный на половину толщины гибкого кольца; Е и / - модуль упругости материала и момент инерции поперечного сечения кольца:

На дуге касания гибкого и жёсткого колец кривизна гибкого кольца остаётся постоянной, поэтому перерезывающая сила на этом участке равна нулю, а продольная сила Тс постоянна.

Отметим, что Т < 0, т. е. направлена от центра и является снимающей (прижимает гибкое кольцо к жёсткому в пределах всей дуги контакта). Вызываемое Т распределённое давление q'N жёсткого кольца на гибкое направлено к центру колеса. Кроме этого, на концах дуги касания на гибкое кольцо действуют сосредоточенные реакции 0'v. Выразим Г и Q’v через силу О:

Рассмотрим схему с кососимметричной нагрузкой (рис. 1.17). Предположим, что гибкое кольцо поджато к жёсткому в пределах дуги касания силами, возникающими при симметричном нагружении. Выразим неизвестную поперечную силу Y и соотношение P/О через силу

Р

Q и распределённую тангенциальную нагрузку q =-:

пгп

Реакции (9" направлены в разные стороны, поэтому, чтобы в исходной схеме нагружения на обоих концах дуги касания реакции были положительны, должно соблюдаться условие Q'N -Q"n> 0.

Наибольшая сложность возникает при вычислении распределенного давления между жёстким и гибким кольцами при кососимметричном нагружении. Это обусловлено физической необоснованностью способа приложения силы к гибкому кольцу. В самом неблагоприятном случае, когда вся окружная сила приложена на сжатом крае дуги касания, распределённое давление q"w =—и ег0 абсолютное значение

Щ2 л)

линейно убывает.

Допустим, что окружная сила приложена поровну на обоих краях дуги, тогда q[, =--^, где угол следует отсчитывать от большой оси овала (рис. 1.29). Наконец, если предположить, что часть окружной силы приложена на краях, а другая часть равномерно распределена по дуге касания, то q”N = 0 в пределах всей дуги. Если же вся сила Р приложена к левому краю, то <Д, > 0 в пределах всей дуги. Чтобы сохранился упругий натяг в зоне зацепления, для всех точек внутри дуги касания должно соблюдаться условие q'N -| 0.

Для вычисления усилий принят следующий порядок расчёта реакции жёсткого колеса на гибкое в зоне их касания:

  • • задаём максимально допустимый угол у/ мах, который определит упругий мёртвый ход передачи;
  • • определяем окружную силу, приведённую к передаче;
  • • находим отношение PIQ для нескольких значений углов 2в дуг касания по формуле (1.16);
  • • получаем геометрические размеры гибкого кольца по зависимости (1.12) и найденным PJQ{. ширину Ь, высоту И, входящие в формулу для определения момента инерции поперечного сечения кольца, и средний радиус г0;
  • • проводим уточнённый расчёт силы Q по зависимости (1.12) с учётом найденных значений b, h, г0 и выбранного материала (Е);
  • • определяем по зависимостям (1.13)-( 1.15) реакции Q[, и распределённое давление при симметричной схеме;
  • • находим реакцию Q"s и распределенное давление по зависимости (1.17) для кососимметричной схемы, полагая, что вся окружная сила приложена к сжатому концу дуги касания;
  • • вычисляем реакцию QN и распределённое давление qN для действительной схемы передачи.

По приведённой методике были рассчитаны основные параметры волновой передачи с промежуточной змеевидной пружиной, входящей в состав редуктора привода электромеханического исполнительного органа, принадлежащего системе ориентации космических аппаратов. Результаты представлены в табл. 1.1.

Рассмотрим напряжённое состояние тонкостенного наружного кольца. Для определения изгибающего момента в произвольном сечении кольца представим его нагруженным силами (7,, которые возникают при упругой деформации наружного кольца от реакций Q*, приложенных к концам дуги касания на угле 29 и передаваемых через шарики от внутреннего кольца.

Воспользуемся формулами, приведёнными в работах [12, 17], для случая нагружения гибкого кольца вертикальными силами по две с каждой стороны (рис. 1.30, а).

В нашем случае силы Qt (рис. 1.30, 6) совпадают с направлением реакций Q , т. е. направлены радиально. Представим силы Q, в виде двух составляющих, параллельных осям координат X и Y,- Qu и Qu .

Эпюры изгибающих моментов, подсчитанных по приведенным ниже формулам для вертикальных сил, имеют вид, показанный на рис. 1.30, в, г.

При сложении этих эпюр получим суммарный изгибающий момент в произвольном сечении, который меньше момента сил Qu,. Значение

Ои обычно не превышает 0,3 Qu, при 9 < 20°, поэтому для упрощения

расчёта и повышения надёжности примем расчётную схему, при которой силы Q, расположены вертикально.

В нашем случае расчётная схема симметрична относительно обеих осей X и Y. Тогда изгибающий момент определится из следующих выражений, в интервале 0 < /3< 9

а в интервале 9< /3<тг/2

где rk - радиус нейтральной линии кольца;

К расчёту изгибающих моментов наружного кольца гибкого подшипника

Рис. 1.30. К расчёту изгибающих моментов наружного кольца гибкого подшипника

Результаты расчёта усилий в зацеплении

в°

Фб

%

Ф.

%

н

Ф4

?>n,

Н

Тс,

Н

<7м-Ю

Н/м

Н

<7n-10

Н/м

*•

Н

5

0,34971

0,54932

1,39670

0,07110

252

0,71321

180

267

1,00

17,40

1,02

163

6

0,44668

0,70164

1,36212

0,06578

266

0,73009

194

285

1,07

17,10

1,01

177

7

0,55324

0,86903

1,32766

0,06079

281

0,74755

210

304

1,14

16,90

1,01

193

8

0,67035

1,05299

1,29335

0,05611

296

0,76562

227

325

1,22

16,6

1,00

210

9

0,79907

1,25517

1,25921

0,05174

313

0,78433

245

347

1,30

16,4

1,00

229

10

0,94056

1,47743

1,22525

0,04766

330

0,80371

266

371

1,39

16,2

1,00

249

11

1,09616

1,72185

1,19151

0,04385

349

0,82381

288

397

1,49

15,9

0,99

272

12

1,26729

1,99066

1,15799

0,04029

369

0,84465

312

425

1,59

15,7

0,99

296

13

1,45557

2,28640

1,12472

0,03698

391

0,86627

339

455

1,71

15,6

0,99

323

14

1,66282

2,61195

1,09171

0,03390

414

0,88873

368

488

1,83

15,4

0,98

352

15

1,89103

2,97042

1,05900

0,03104

439

0,91206

400

524

1,97

15,3

0,98

385

Деформации кольца подшипника определяются по зависимостям: где

В приведённых выражениях радиус нейтральной линии гк равен радиусу среднего сечения недеформированного кольца.

Для определения изгибающего момента необходимо найти силу Q . Под действием сил, приложенных к внутреннему кольцу гибкого подшипника, его наружное кольцо деформируется в овал с зоной касания со змеевидной пружиной, равной углу 20. При этом изменение диаметра будет равно значению (>]- г0), взятому из расчёта усилий внутреннего кольца при его деформации. Подставив разность радиусов (постоянную для конкретной передачи) в формулу (1.21), получим выражение Огъ

(г, - г0) = -=-*-Ф10, из которого определится сила EI

Затем находим изгибающий момент при граничных условиях /3 = О

и /3 = — для значений дуги касания с углом 20.

В произвольном сечении напряжение изгиба находится по формуле

w bhl

где Wc =- - момент сопротивления поперечного сечения кольца;

6

Ь и И - ширина и высота сечения соответственно.

Результаты расчёта изгибающих моментов и напряжений изгиба для наружного кольца гибкого подшипника волновой передачи со змеевидной пружиной приведены в табл. 1.2.

Эпюра напряжений имеет вид, подобный эпюре изгибающих моментов, рис. 1.30, в. Из этого следует, что нагружения являются знакопеременными и несимметричными (в пределах квадранта). Для сравнения с пределом выносливости сг_, примем среднее циклическое значение напряжений изгиба

где SF - коэффициент запаса прочности, для повышения надежности принимаемый равным 2,5.

Таблица 1.2

Результаты расчёта изгибающих моментов и напряжений

в,

град.

в,,

Н

?и.О-0’

Нм

Т ,

И*2

Нм

^"и,0 ?

МПа

(У „,

и,—

2

МПа

°Тир

МПа

5

7,6

0,140

0,072

187,3

96,5

141,9

6

7,4

0,135

0,068

180,7

91,3

136,0

7

7,3

0,130

0,064

174,2

86,3

130,2

8

7,1

0,125

0,061

167,8

81,5

124,6

9

6,9

0,121

0,058

161,4

77,0

119,2

10

6,8

0,120

0,054

155,2

72,7

114,0

11

6,6

0,110

0,051

149,1

68,7

108,9

12

6,4

0,107

0,048

143,1

64,8

104,0

13

6,3

0,102

0,046

137,2

61,2

99,2

14

6,1

0,098

0,043

131,4

57,7

94,6

15

6,0

0,094

0,041

125,7

54,5

91,1

Одним из геометрических отношений, необходимых для проектирования гибкого подшипника волновой передачи, является /?/ D ср, которое ограничивает толщину наружного кольца. Используя выражения (1.18), (1.19), (1.23) и с учётом (1.24), определим:

где D ср - диаметр среднего сечения кольца до его деформации.

В выражении Фх примем sin/? = 1.

Определив из формулы (1.25) силу Ох, получим ее максимально допустимое значение

Затем найдём максимально допустимое значение деформации гибкого кольца, которая характеризуется отношением:

Следует отметить, что в реальной конструкции изгибныс деформации вызываются не сосредоточенными силами, как принято в расчётной схеме, а распределёнными по нескольким телам качения. Поэтому напряжения (при тех же деформациях) несколько завышены, по сравнению с теми, которые могут быть в реальной передаче. По зависимостям (1.18)—(1.27) проведён расчёт наружного гибкого кольца подшипника передачи редуктора. Максимально допустимые значения для случая, когда дуга касания 2(9= 30°; Qt = 18,8 Н; h/Dcp = 0,0074; Sv = 2,23 мм;

?,=2,34 мм; 4 -1,165.

В основу методики расчёта долговечности гибкого подшипника с учётом усталостной выносливости материала кольца положена работа А.С. Саверского и В.И. Колотенкова [18].

Рассмотрим, как работает гибкий подшипник при двухволновой передаче, когда циклически деформируемым будет наружное кольцо. Для данного случая деталью, снижающей долговечность подшипника по контактной выносливости материала, будет внутреннее кольцо. Наиболее опасны при этом точки максимальной деформации, т. е. точки дуги с углом 2 в.

Из условия динамической грузоподъёмности подшипников качения [ 19] находим, что

где <7 - переменное напряжение цикла в опасных точках жёлоба кольца; N - число циклов нагружения на точки за срок службы подшипника; G - значение, характеризующее усталостную (контактную) выносливость материала, из которого выполнены кольца; Хп и Yn - постоянные величины, определяемые, как и G, экспериментально.

Обычно для подшипников качения принимается Хн= 3, YH = 1/3 или Хн = 10/3 и Ун=3/10 [18].

Значение G шарикоподшипниковых сталей типа IIIXI5 при твердости колец более 58 единиц по шкале Роквелла составляет от 5-1015 до 7-1015. Для подшипников качения, у которых твёрдость материала деталей ниже этого значения, вводится коэффициент [19]

где HRC - фактическая твёрдость по шкале Роквелла.

В связи со спецификой работы гибкого подшипника в волновых передачах, переменное напряжение сг в опасных точках внутреннего кольца оказывается равным аксиальному контактному напряжению в местах контакта с кольцами наиболее нагруженного шарика. Контактное напряжение определяется выражением [20]

где Хп - коэффициент, зависящий от //,, который равен /у, =———, и определяется по таблице [20]; qm - нагрузка на один шарик (опрсдс-

, а , „

лястся по соотношению qm = —-, где Ат, = 7 для двухволновои переда

ет

чи [21]; Q2 - нагрузка на подшипник, примем Q2 =2Q“, где Q - реакция от сил Q, приложенных к наружному кольцу подшипника, полученная в предыдущих расчётах; Zm - число шариков в подшипнике; гв и dm - геометрические размеры жёлоба кольца и диаметр шарика (рис. 1.31).

Если принять, что кинематика подшипника подобна планетарному механизму, и пренебречь проскальзыванием тел качения и изгибными деформациями колец, то число циклов нагружения определится выражением

где пв - скорость кольца, об/мин; tn - продолжительность работы подшипника, ч; А.п - угол между точками контакта внутреннего кольца с двумя соседними шариками:

т”- Д, (I + D , . _..

где D0 = =--размеры подшипника (рис. 1.31).

dm 2.dm

Для проектирования гибких подшипников волновых передач в работе А.С. Саверского и В.И. Колотснкова [18] рекомендованы основные геометрические и конструктивные зависимости, которые приведены в табл. 1.3 (вариант 1). Эти зависимости рекомендованы для проектирования силовых передач, а на кинематические передачи, в частности волновые с упругим натягом в зацеплении, влияет следующее:

  • • результаты конструкторской компоновки;
  • • диаметр шарика (желательно унифицировать для всех передач редуктора);
  • • размеры поперечного сечения внутреннего кольца (определяются при расчёте усилий упругого натяга).
Геометрические размеры гибкого подшипника

Рис. 1.31. Геометрические размеры гибкого подшипника

С учетом этого для гибкого подшипника рассматриваемой передачи предварительно выбираются размеры колец, диаметр и количество шариков. В результате расчётов передачи для редуктора получены конструктивные зависимости (табл. 1.3, вариант 2). Изменение соотношений по отношению к варианту 1 вызваны, в основном, применением шарика меньшего диаметра и размерами поперечного сечения внутреннего кольца (которые определяются при расчёте усилий в передаче), меньше рекомендованных.

Выбранные размеры и приведённые выше зависимости позволяют проводить расчёт долговечности внутреннего кольца гибкого подшипника. Для передачи редуктора расчёт проводился при Хн= 3, Ун= 1/3 и G = 61015. Долговечность составила N = 1,5-1013 циклов. Долговечность наружного кольца обычных шарикоподшипников на порядок больше, а в волновых генераторах на два порядка, вследствие малого значения нагруженной зоны (в пределах до у^) [18], поэтому проводить сё расчет необязательно.

Таблица 1.3

Конструктивные зависимости размеров гибкого подшипника

Вариант

^гпах

D

T

' h(r )

D

D

cl

Z1

Ш

V)

dm

D

В

1

О

со

I/O

CD

VO

О

I/O

o'

о

I/O

CO

CO

CO

CO

I/O

о

»/0

CO

uo

o'

(N

I/O

cT

Г-

uo

2

1,165

19,5

  • 0,013
  • 0,032

1,22

30

  • 0,15
  • 0
  • 0,52
  • 0

8,83

Из расчётов зубчатых колес с эвольвентным зацеплением известно, что при малой разности чисел зубьев опасность интерференции тем меньше, чем больше профильный угол а, поэтому для передачи гибкими колесами желательно нарезать зубья с углом а = 30°. Увеличения профильного угла можно достичь также смещением исходного контура при нарезании зубьев.

Расчёт геометрии зацепления передач с гибкими колёсами можно провести с достаточной точностью по методикам расчёта зубчатых передач с внутренним зацеплением [12].

Уравнение эвольвенты (рис. 1.32) в параметрической форме имеет вид

К определению уравнения эвольвенты 61

Рис. 1.32. К определению уравнения эвольвенты 61

Если зубья нарезают с коэффициентом смещения инструмента х (рис. 1.33), толщина зуба на делительной окружности радиусом г определяется выражением

где а, - угол профиля исходного контура; тп - нормальный модуль.

К расчёту толщины зуба на делительной окружности

Рис. 1.33. К расчёту толщины зуба на делительной окружности

Дуговую толщину SY зуба на окружности произвольного радиуса г, определим с помощью рис. 1.34, на котором показан внешний зуб

(впадина между внутренними зубьями). Эвольвента профиля начинается на основной окружности радиусом гв, где NN - нормаль к эвольвенте в произвольной точке К, ТТ - касательная в той же точке; аг - угол между касательной ТТ и радиусом г,, приведённым в точку К. Дуговая толщина определится из выражения

Полученное выражение определяет дуговую ширину впадины внутренних зубьев на окружности радиусом гу. Если г, - равен радиусу

начальной окружности внешнего колеса (г = гХа), то для эвольвентного зацепления

где аы - угол зацепления собранной передачи.

При беззазорном зацеплении ширина впадины между зубьями жёсткого колеса на его начальной окружности должна быть равна толщине зуба составного (гибкого) колеса на его начальной окружности. Из этого условия, пользуясь выражением (1.28) и записанными выше пропорциями, получаем

К определению толщины зуба на произвольной окружности

Рис. 1.34. К определению толщины зуба на произвольной окружности

Эта зависимость, при произвольно выбираемом угле зацепления, справедлива только для жёстких колёс. Для передач гибкими колесами действительная линия зацепления близка к окружности с центром на оси вращения колёс, поэтому важен не угол зацепления, а угол профиля.

В жёстких колёсах при большом х, и малом х2 (даже при х2 = 0) полюс зацепления 012 (рис. 1.33) располагается вне активного участка линии зацепления, т. е. имеется неполюсное зацепление. При этом в начальный момент зацепления оси зуба составного колеса и впадины между зубьями жёсткого колеса образуют значительный угол. В зоне зацепления с углом должно быть такое расположение зубьев составного колеса во впадинах между зубьями жёсткого колеса, чтобы обеспечивалось полное беззазорное зацепление, т. е. должен быть контакт как рабочих, так и нерабочих профилей в момент, когда ось зуба составного колеса совпадает с осью впадины жёсткого колеса. Именно это относительное расположение зубьев соответствует тому состоянию составного колеса, когда его срединная поверхность деформируется по предельной окружности.

В этом положении должны одновременно совпадать ось зуба составного колеса, ось впадины между зубьями жёсткого колеса и линия центров колес передачи, тогда полюс зацепления С)]2 будет размещаться на оси зуба составного колеса (рис. 1.35), а зубья колёс передачи будут соприкасаться в точках К и К. Поэтому необходимо выбрать коэффициенты смещения х, и х2 так, чтобы точки К и К располагались на половине рабочей высоты зубьев. В общем случае

где hc] и hc2 - расстояния от окружностей выступов до хорды ККь

где /?а1 и Ил2 - значения делительной высоты головок. Складывая два исходных равенства, (1.30) и (1.31), и подставляя значение радиусов после деления их на тп, получаем равенство:

Если примем h^=hc7 и /7al = /7aJ,то получим равенство:

Обозначим толщину зуба составного колеса на начальной окружности радиусом гЬо через значение Sm (она равна ширине впадины еы между зубьями жёсткого колеса на его начальной окружности радиусом rUo).

Известно, что hk =—Sacosааsinат [12]. Полагая, что 2hk = hk] + hk2,

где hki и hk2 - изменения расстояний от окружностей выступов колёс до хорды КК за счёт коэффициентов смещения исходного контура. Выражая hk] через Z, и х,, a hk2 через Z, и х2, заменяем 2hk в формуле (1.32). И после преобразований получаем

К определению коэффициентов смещения исходного контура

Рис. 1.35. К определению коэффициентов смещения исходного контура

Выражения (1.29) и (1.33) в совокупности однозначно определяют х, и х, в зависимости от а ,.

1 Z

Для полной уверенности в допустимости найденных значений необходимо сверить результат расчёта с блокирующими контурами жёстких колес внутреннего зацепления.

После определения х, их,, используя формулу (1.28), можно найти дуговую толщину 5а2 головок внешних зубьев и дуговую ширину впадин еа1 между внутренними зубьями, подставив их вместо 5). и заменив г / г на ги / г, а ау на угол аа, соответствующий окружности выступов. ЗнаУпростим эти формулы, учитывая, что крутизна профиля зубьев очень мала при достаточно больших Z, и Z,, а профиль витков пружины к тому же прямолинеен. Тогда, принимая во внимание, что хорда КК{ = S0)cos2 а(0 [12], получаем

чсния S„2 и eal необходимы для проверки отсутствия заострения головок. Определим их, принимая во внимание следующие соотношения [12]:

Дуговая толщина головки зуба жесткого колеса на окружности выступов равна:

Во избежание заострения головок зубьев Sa] и Sa2 следует принимать их значения не менее 0,2 мм [18]. Оптимальное значение аы, при использовании инструмента с а, = 20° и hc = 0,7 тп, находится в пределах 25°...26° [12].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >