Дискретное преобразование Лапласа.
- преобразование
Рассмотрим применение преобразования Лапласа для анализа дискретных функций времени
Применение преобразования Лапласа к дельта-функции 8(0 дает
Согласно теореме смещения изображение по Лапласу дельтафункции, сдвинутой на пТ, равно
Найдем изображение дискретной функции времени х*(г):
Это выражение определяет математическую операцию, называемую дискретным преобразованием Лапласа (D-преобразованием). Видно, что в дискретное преобразование Лапласа переменная 5 входит
в виде функции e~Ts. Следовательно, это преобразование не является рациональной функцией от Поэтому проводить анализ дискретных функций времени в плоскости 5 трудно.
Дискретное преобразование Лапласа является рациональной функцией от eTs. Использовав подстановку
выражение (7.1) можно переписать в виде
Функция X(z) представляет уже рациональную функцию относительно переменной z . Она определяет собой прямое z -преобразование, являющееся вариантом преобразования Лапласа применительно к дискретным функциям времени. Обозначается прямое z -преобразование
и называется z -изображением дискретной функции.
D -преобразование и z -преобразование эквивалентны. Однако при использовании z -преобразования анализ дискретных функций во многом подобен анализу непрерывных функций. Кроме того, преимуществом z -преобразования является легкость обратного преобразования.
Комплексная функция X(z) определена лишь для тех значений переменной z=reJV, при которых ряд сходится. Условием сходимости ряда (7.2) является
Множество значений z , для которых ряд (7.2) сходится, называют областью сходимости. Область сходимости определяется радиусом сходимости R . Величина R зависит от положения особых точек (полюсов) функции X(z). В табл. 7.1 приведены z-изображения дискретных функций.
Таблица 7.1
Изображения дискретных функций
|
x(t), t>0 |
x(n), n>0 |
X(z) |
|
|
1 |
6(0 |
o, , Jl,«=0 8(")=|o,„*o |
1 |
|
2 |
ко |
1(«) |
1 Z l-z"1 z—1 |
|
3 |
e~aTn=dn |
1 z l-e~aT z~l~z-e~aT |
|
|
4 |
t |
Tn |
Tz-1 (l-^-1)2 |
|
5 |
te'a' |
rr< —oTn nTe |
Te~aTz~' (1 -e-V)1 |
|
6 |
sin bt |
sin bTn |
(sin67')z"‘ l-2(cosbT)z ' +z 2 |
|
7 |
cos bt |
cos b Tn |
l-(cosfe7’)z‘l l-2(cos67’)z‘l +z“2 |
|
8 |
e^'sinbt |
e-aTn sin bTn |
e~aT (sin bT)z~' -2e~aT (cosbT)z~' +e-2aT z-2 |
|
9 |
e~at cos bt |
e~aT" cos bTn |
l-e'“r(cos bT)z~' -2e~aT (cosbT)z~[ +e~2aTz~2 |
Пример 1. Дана функция х(п) = А-5(и). Формула (7.2) в этом случае содержит единственное слагаемое:
Пример 2. Дана ступенчатая функция х(п)=А- 1(я). В соответствии с формулой (7.2) изображение этой функции имеет вид
Сумма бесконечной геометрической прогрессии записывается в явной форме:
При мер 3. Дана экспоненциальная функция х(п)=е -1 (п) (а- действительное число). Согласно определению z -преобразования запишем
Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии с показателем, меньшим единицы, получим
Ряд сходится, то есть функция X(z) является аналитической при |e~“z_l|
