Дискретное преобразование Лапласа.

- преобразование

Рассмотрим применение преобразования Лапласа для анализа дискретных функций времени

Применение преобразования Лапласа к дельта-функции 8(0 дает

Согласно теореме смещения изображение по Лапласу дельтафункции, сдвинутой на пТ, равно

Найдем изображение дискретной функции времени х*(г):

Это выражение определяет математическую операцию, называемую дискретным преобразованием Лапласа (D-преобразованием). Видно, что в дискретное преобразование Лапласа переменная 5 входит

в виде функции e~Ts. Следовательно, это преобразование не является рациональной функцией от Поэтому проводить анализ дискретных функций времени в плоскости 5 трудно.

Дискретное преобразование Лапласа является рациональной функцией от eTs. Использовав подстановку

выражение (7.1) можно переписать в виде

Функция X(z) представляет уже рациональную функцию относительно переменной z . Она определяет собой прямое z -преобразование, являющееся вариантом преобразования Лапласа применительно к дискретным функциям времени. Обозначается прямое z -преобразование

и называется z -изображением дискретной функции.

D -преобразование и z -преобразование эквивалентны. Однако при использовании z -преобразования анализ дискретных функций во многом подобен анализу непрерывных функций. Кроме того, преимуществом z -преобразования является легкость обратного преобразования.

Комплексная функция X(z) определена лишь для тех значений переменной z=reJV, при которых ряд сходится. Условием сходимости ряда (7.2) является

Множество значений z , для которых ряд (7.2) сходится, называют областью сходимости. Область сходимости определяется радиусом сходимости R . Величина R зависит от положения особых точек (полюсов) функции X(z). В табл. 7.1 приведены z-изображения дискретных функций.

Таблица 7.1

Изображения дискретных функций

x(t), t>0

x(n), n>0

X(z)

1

6(0

o, , Jl,«=0 8(")=|o,„*o

1

2

ко

1(«)

1 Z

l-z"1 z—1

3

e~aTn=dn

1 z

l-e~aT z~l~z-e~aT

4

t

Tn

Tz-1

(l-^-1)2

5

te'a'

rr< —oTn

nTe

Te~aTz~'

(1 -e-V)1

6

sin bt

sin bTn

(sin67')z"‘ l-2(cosbT)z ' +z 2

7

cos bt

cos b Tn

l-(cosfe7’)z‘l l-2(cos67’)z‘l +z“2

8

e^'sinbt

e-aTn sin bTn

e~aT (sin bT)z~' -2e~aT (cosbT)z~' +e-2aT z-2

9

e~at cos bt

e~aT" cos bTn

l-e'“r(cos bT)z~' -2e~aT (cosbT)z~[ +e~2aTz~2

Пример 1. Дана функция х(п) = А-5(и). Формула (7.2) в этом случае содержит единственное слагаемое:

Пример 2. Дана ступенчатая функция х(п)=А- 1(я). В соответствии с формулой (7.2) изображение этой функции имеет вид

Сумма бесконечной геометрической прогрессии записывается в явной форме:

При мер 3. Дана экспоненциальная функция х(п)=е -1 (п) (а- действительное число). Согласно определению z -преобразования запишем

Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии с показателем, меньшим единицы, получим

Ряд сходится, то есть функция X(z) является аналитической при |e~“z_l|e“").

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >