Нерекурсивные цифровые фильтры с линейной ФЧХ

Произведя в (11.2) замену z-eJl°, получим частотную передаточную функцию нерекурсивного ЦФ

Фазо-частотная характеристика фильтра определяется выражением

Найдем условия, при которых фазо-частотная характеристика является линейной, го есть

где т - коэффициент наклона ФЧХ, подлежащий определению. Приравняв (11.5) и (11.6), запишем исходное соотношение

После очевидных преобразований выражение принимает вид Отсюда получим

Можно показать, что решением этого уравнения являются следующие соотношения:

Таким образом, нерекурсивный фильтр, обладающий линейной ФЧХ, имеет импульсную характеристику, симметричную относительно средней точки, и коэффициент наклона ФЧХ x=(N-l)/2 .

При этом можно выделить два вида фильтров.

Фильтр вида 1 ( N - нечетное число и h(n)=h(N-1-я)). Импульсная характеристика фильтра при N=l 1 имеет вид, показанный на рис. 11.3, а.

Импульсные характеристики нерекурсивных ЦФ

Рис. 11.3. Импульсные характеристики нерекурсивных ЦФ: я-вид 1,N= 11; б-вид2,М=10.

Частотную передаточную функцию получим из выражения (11.4). Вынесем за знак суммы ехр(-уюА:), где k=(N-1)/2. Используя формулу Эйлера и учтя условие симметрии /?(/?), будем иметь:

где c0=h(k), ci=2-h(k-i), i=,2,...,k.

Отсюда для АЧХ имеем

Значения АЧХ Н{0) и #|(я), в зависимости от выбранных значений коэффициентов с,-, могут быть равными нулю или произвольными положительными. Поэтому данный вид нерекурсивного ЦФ позволяет получить ФНЧ, ФВЧ, ПФ и ЗФ.

Фильтр вида 2 (N - четное число и h{n)=h(N-1-л)).

Импульсная характеристика фильтра при Л/=10 показана на рис. 11.3, 6. Частотную передаточную функцию (11.4) преобразуем следующим образом:

где k=(N-2)/2, c,=2-h(k-i), i=0,l,...,k.

Отсюда найдем формулу АЧХ

Легко видеть, что значения Я,(0) могут быть произвольными, в том числе и равными нулю, а значение Н2(л)=0 при любом выборе коэффициентов cv. Поэтому данный вид нерекурсивного ЦФ позволяет реализовать ФНЧ и ПФ.

Во многих практических задачах ФЧХ нерекурсивного ЦФ может иметь вид

где 0О - постоянная величина. Применив процедуру, описанную выше, получим фильтра другого типа. В частности, при 0о=л/2 найдем решение в следующей форме:

В этом случае импульсная характеристика является антисимметричной относительно средней точки. При этом можно выделить два вида фильтров.

Фильтр вида 3 (N - нечетное число и h(n)--h(N-1-п)).

Импульсная характеристика фильтра при N=11 показана на рис. 11.4, а. Частотную передаточную функцию (11.4) преобразуем следующим образом:

где k=(N-)/2, с0=0, ci=2-h(k-i), i-l,2,...,k.

Отсюда найдем формулу АЧХ

Импульсные характеристики нерекурсивных ЦФ

Рис. 11.4. Импульсные характеристики нерекурсивных ЦФ: а - вид 3, N= 11; б- вид 4, N=.

Из этой формулы следует, что при любом выборе коэффициентов с, значения /73(0)=0 и //3(л)=0. Таким образом, рассматриваемый вид нерекурсивного ЦФ можно использовать только в качестве ПФ.

Фильтр вида 4 (N - четное число и h(n)=-h(N-1-л)).

Импульсная характеристика фильтра при N=10 показана на рис. 11.4, б. Частотную передаточную функцию (11.4) преобразуем так:

где k=(N-2)/2, Cj=2-h(k-i), i-0,l,...,k.

Отсюда найдем формулу АЧХ

Легко видеть, что значение Я4(0)=0 при любом выборе коэффициентов Cj, а значения Н4(п) могут быть произвольными, в том числе и равными нулю. Поэтому данный вид нерекурсивного ЦФ позволяет реализовать ФВЧ и ПФ.

Для расчета нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ применяют методы:

  • • взвешивания с помощью оконных функций;
  • • разложения АЧХ в ряд Фурье;
  • • частотной выборки;
  • • оптимизации с помощью функций Чебышева.

В каждом конкретном случае выбор метода расчета определяется большим числом факторов. Поэтому трудно дать однозначные рекомендации в пользу того или другого метода. Далее рассмотрим, как более просто реализуемые, два первых метода.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >